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HCF × LCM = a × b (The Product Rule)

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आज क्या सीखेंगे

HCF × LCM = a × b (The Product Rule) से जुड़े प्रश्न स्वयं हल करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF 5 और LCM 60 है। एक संख्या 15 है। दूसरी कितनी होगी?
एक सीधा नियम, जो दो संख्याओं के लिए काम करता है।
🧠 समझिए (Understand)
दो धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है।
एक संख्या दी हो तो गुणनफल को उससे भाग देकर दूसरी संख्या मिलती है।
सूत्र (Formula)
HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. पहले HCF और LCM को गुणा करें।
  2. इस गुणनफल को दी हुई संख्या से भाग दें। उत्तर दूसरी संख्या है।
  3. मिली जोड़ी का HCF और LCM भी जाँचें। केवल गुणनफल बराबर होना दिए गए HCF और LCM की पुष्टि नहीं करता।
  4. LCM अज्ञात हो: a × b को HCF से भाग दें। HCF अज्ञात हो: a × b को LCM से भाग दें।
उदाहरण 1 (Example 1) — HCF 5, LCM 60, पहली संख्या 15
दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF 5 और LCM 60 है। एक संख्या 15 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

दिया हुआ (Given)

दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF 5 और LCM 60 है।

ज्ञात करना है (Find)

एक संख्या 15 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए: HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या।

चरण (Step) 1 — दो संख्याओं वाला संबंध लगाएँ

दो धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है।
15 × दूसरी संख्या = 5 × 60

चरण (Step) 2 — कुल गुणनफल निकालें

5 को 60 से गुणा करें।
5 × 60 = 300

चरण (Step) 3 — दी हुई संख्या से भाग दें

15 को किससे गुणा करने पर 300 मिलेगा? इसके लिए 300 को 15 से भाग दें।
दूसरी संख्या = 300 ÷ 15 = 20

जाँच (Check)

अभाज्य गुणनखंडों में साझा गुणनखंडों की कम गिनती से HCF और सभी की अधिक गिनती से LCM मिलता है।
15 = 3 × 5; 20 = 2 × 2 × 5

जाँच (Check)

दोनों मान सवाल से मेल खाते हैं।
HCF = 5; LCM = 60

उत्तर (Answer)

दूसरी संख्या = 20

उदाहरण 2 (Example 2) — HCF 4, LCM 84, a = 28
दो संख्याओं का HCF 4, LCM 84, एक संख्या 28 है। दूसरी?

दिया हुआ (Given)

दो संख्याओं का HCF 4, LCM 84, एक संख्या 28 है।

ज्ञात करना है (Find)

दूसरी?

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए: HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या।

चरण (Step) 1 — दो संख्याओं वाला संबंध लगाएँ

दो धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है।
28 × दूसरी संख्या = 4 × 84

चरण (Step) 2 — कुल गुणनफल निकालें

4 को 84 से गुणा करें।
4 × 84 = 336

चरण (Step) 3 — दी हुई संख्या से भाग दें

28 को किससे गुणा करने पर 336 मिलेगा? इसके लिए 336 को 28 से भाग दें।
दूसरी संख्या = 336 ÷ 28 = 12

जाँच (Check)

अभाज्य गुणनखंडों में साझा गुणनखंडों की कम गिनती से HCF और सभी की अधिक गिनती से LCM मिलता है।
28 = 2 × 2 × 7; 12 = 2 × 2 × 3

जाँच (Check)

दोनों मान सवाल से मेल खाते हैं।
HCF = 4; LCM = 84

उत्तर (Answer)

दूसरी संख्या = 12

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
HCF 5, LCM 60, पहली संख्या 15 के लिए दूसरी संख्या = 60 − 5 = 55 ❌
HCF और LCM को घटाना नहीं है — उनका गुणनफल लेना है
5 × 60 = 300, 300 ÷ 15 = 20

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

HCF × LCM = a × b किसके लिए सामान्य नियम है?

सवाल 2

a = 12, b = 18, HCF = 6 हो तो LCM?

सवाल 3

दो संख्याओं का गुणनफल 240 और LCM 60 हो तो HCF?
💡 टिप (Tip)
यह नियम सिर्फ़ दो संख्याओं के लिए है। तीन संख्याओं वाले सवाल में इसे मत लगाइए।
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