दो दुकानदार एक ही सामान बेचते हैं। हर दुकान का हिसाब एक रैखिक समीकरण है।
बिना हिसाब किए ही बताना है: क्या दोनों हिसाब एक ही जवाब देते हैं, एक ही जवाब देते हैं पर अलग-अलग, या कभी मेल नहीं खाते?
अनुपात से हल की प्रकृति पहचानना — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।
दोनों शर्तें एक साथ पूरी करने वाला बिंदु ही हल है। काटती रेखाएँ एक, एक ही रेखा अनंत और अलग समांतर रेखाएँ कोई हल नहीं देतीं।
a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के लिए: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ हो तो एक अद्वितीय हल; a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो तो अनंत हल; और a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हो तो कोई हल नहीं।
a1/a2 = 1/2, b1/b2 = 2/4 = 1/2, c1/c2 = 4/8 = 1/2
तीनों बराबर हैं — दोनों समीकरण एक ही रेखा हैं
अनेक हल
अनुपात का हर 0 हो तो सीधे भाग न दें; गुणांकों के वज्रगुणन या रेखाओं से स्थिति जाँचें।
दोनों शर्तें एक साथ पूरी करने वाला बिंदु ही हल है। काटती रेखाएँ एक, एक ही रेखा अनंत और अलग समांतर रेखाएँ कोई हल नहीं देतीं।
a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के लिए: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ हो तो एक अद्वितीय हल; a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो तो अनंत हल; और a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हो तो कोई हल नहीं।
a1/a2 = 1/1, b1/b2 = 1/(−1) = −1
पहला और दूसरा अनुपात अलग हैं — अद्वितीय हल
अद्वितीय हल
अनुपात का हर 0 हो तो सीधे भाग न दें; गुणांकों के वज्रगुणन या रेखाओं से स्थिति जाँचें।
पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।