बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
3x + 5y = 0 और kx + 10y = 0 हैं।
k की वह शर्त निकालनी है जिससे केवल एक हल मिले।
विलोपन (Elimination) से एक चर हटाएँगे। बचा समीकरण बताएगा कि एक हल मिलता है, अनेक हल मिलते हैं या कोई हल नहीं मिलता।
पहला समीकरण 3x + 5y = 0 है। इसे 2 से गुणा करें: 6x + 10y = 0। दूसरा kx + 10y = 0 है।
दोनों घटाने पर (6 − k)x = 0। यदि k ≠ 6, तो 6 − k से भाग दे सकते हैं: x = 0। पहले समीकरण से y = 0। इसलिए केवल एक हल है।
k = 6 पर दूसरा समीकरण पहले का दुगुना बन जाता है; अनेक हल होंगे। अतः अद्वितीय हल (Unique solution) के लिए k ≠ 6।
अद्वितीय हल के लिए k ≠ 6। तब x = y = 0।
पहले a₁/a₂ और b₁/b₂ की तुलना करें। अनंत हल के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए; कोई हल नहीं के लिए पहले दो बराबर और तीसरा अलग; अद्वितीय हल के लिए पहले दो अनुपात अलग होने चाहिए।