बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
समीकरण (k + 1)x² − 2(k − 1)x + 1 = 0 है।
k के वे मान निकालने हैं जिन पर बराबर मूल हों।
विवेचक (Discriminant) D = b² − 4ac मूलों (Roots) की प्रकृति बताता है: D > 0 पर अलग, D = 0 पर बराबर वास्तविक मूल। D < 0 पर वास्तविक मूल नहीं।
a = k + 1, b = −2(k − 1), c = 1। पहले k ≠ −1 होना चाहिए।
4(k − 1)² − 4(k + 1) = 0। 4 से भाग दें: k² − 2k + 1 − k − 1 = 0।
k² − 3k = k(k − 3) = 0। इसलिए k = 0 या k = 3। दोनों −1 से अलग हैं।
k = 0 पर (x + 1)² = 0; k = 3 पर (2x − 1)² = 0। दोनों में बराबर मूल मिलते हैं।
k = 0 या k = 3; दोनों मानों पर समीकरण द्विघात बना रहता है।
बराबर वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac = 0 होता है। इसी समीकरण से k निकालते हैं और a ≠ 0 की शर्त भी जाँचते हैं।