उत्तर समझें — चरण दर चरण

प्रमेय का कथन (Statement)

दो त्रिभुजों की दो-दो संगत (Corresponding) भुजाएँ समान अनुपात (Ratio) में हों और उनके बीच का कोण बराबर हो, तो त्रिभुज समरूप (Similar) होते हैं।

दिया हुआ (Given)

ΔABC और ΔDEF में ∠A = ∠D तथा AB/DE = AC/DF है।

सिद्ध करना है (To prove)

ΔABC ∼ ΔDEF।

रचना और चित्र (Construction)

जरूरत हो तो त्रिभुजों के नाम बदलकर AB ≤ DE लें। DE पर P ऐसा लें कि DP = AB। P से EF के समांतर PQ खींचें, जहाँ Q, DF पर है। यदि AB = DE, तो P = E और Q = F होंगे।

प्रमाण का तरीका (Proof plan)

पहले ABC के बराबर आकार का सहायक त्रिभुज DPQ बनाएँगे। फिर उसकी समरूपता (Similarity) बड़े DEF से जोड़ेंगे।

चरण (Step) 1 — सहायक त्रिभुज का अनुपात

PQ ∥ EF से संगत कोण (Corresponding angles) बराबर हैं। AA से ΔDPQ ∼ ΔDEF, इसलिए DP/DE = DQ/DF।

चरण (Step) 2 — पहले त्रिभुज से मिलाएँ

DP = AB तथा AB/DE = AC/DF दिए हैं। इन्हें पिछले अनुपात में रखने पर DQ = AC मिलता है। साथ में ∠PDQ = ∠A है। इसलिए SAS सर्वांगसमता से ΔABC ≅ ΔDPQ।

चरण (Step) 3 — समरूपता का निष्कर्ष निकालें

सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं। ΔABC के कोण ΔDPQ से और ΔDPQ के कोण ΔDEF से मिलते हैं। इसलिए ΔABC ∼ ΔDEF।

निष्कर्ष (Conclusion)

बराबर अंतर्वर्ती कोण और उससे लगी आनुपातिक भुजाओं से दोनों त्रिभुज समरूप हैं।

प्रयुक्त नियम (Rule)

समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।