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बराबर स्पर्श रेखाओं का उपयोग (Using Equal Tangent Lengths)

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आज क्या सीखेंगे

बराबर स्पर्श रेखाओं का उपयोग — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
एक वृत्त के चारों ओर एक चतुर्भुज ABCD इस तरह खींचा गया है कि उसकी चारों भुजाएँ वृत्त को छूती हैं — ऐसे चतुर्भुज को वृत्त का परिगत (Circumscribing) चतुर्भुज कहते हैं।
हर भुजा असल में दो स्पर्श रेखा-खंडों से बनी है — एक-एक कोने से। और एक ही कोने से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ हमेशा बराबर होती हैं।
🧠 समझिए (Understand)
मान लीजिए वृत्त भुजाओं AB, BC, CD, DA को क्रमशः P, Q, R, S बिंदुओं पर छूता है।
तब AP=AS, BP=BQ, CQ=CR, DR=DS — हर कोने से निकलने वाली दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर।
हर बाहरी शीर्ष से खींचे गए दो स्पर्शखंड बराबर हैं। चार शीर्षों के बराबर खंड जोड़ने से विपरीत भुजाओं के योग बराबर मिलते हैं।
OPAB
सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।
सूत्र (Formula)
AB + CD = BC + AD
यह सिर्फ़ तभी लगता है जब चतुर्भुज की चारों भुजाएँ उसी एक वृत्त को छूती हों (परिगत चतुर्भुज)।
भुजाओं के नाम का क्रम (A, B, C, D) महत्वपूर्ण है — सामने वाली भुजाओं के जोड़े (AB-CD और BC-AD) ही बराबर जोड़े में आते हैं, पड़ोसी भुजाएँ नहीं।
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. तीन भुजाएँ पहचानिए, जो दी गई हैं।
  2. AB + CD = BC + AD में रखिए।
  3. चौथी भुजा के लिए हल कीजिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — सीधा उदाहरण
चतुर्भुज ABCD एक वृत्त का परिगत है। AB = 7 cm, BC = 9 cm, CD = 5 cm है। AD ज्ञात कीजिए।

दिया हुआ (Given)

चतुर्भुज ABCD एक वृत्त का परिगत है। AB = 7 cm, BC = 9 cm, CD = 5 cm है।

ज्ञात करना है (Find)

AD ज्ञात कीजिए।

तरीका (Method)

हर बाहरी शीर्ष से खींचे गए दो स्पर्शखंड बराबर हैं। चार शीर्षों के बराबर खंड जोड़ने से विपरीत भुजाओं के योग बराबर मिलते हैं।

प्रयुक्त प्रमेय (Theorem)

एक ही बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

AB + CD = BC + AD

चरण (Step) 2

7 + 5 = 9 + AD, इसलिए AD = 12 − 9 = 3 cm

उत्तर (Answer)

AD = 3 cm

ध्यान रखें (Remember)

AB + CD = BC + AD तभी लागू करें जब वृत्त चारों भुजाओं को स्पर्श करे।

उदाहरण 2 (Example 2) — बड़ी संख्याओं के साथ
चतुर्भुज ABCD एक वृत्त का परिगत है। AB = 15 cm, BC = 10 cm, CD = 8 cm है। AD ज्ञात कीजिए।

दिया हुआ (Given)

चतुर्भुज ABCD एक वृत्त का परिगत है। AB = 15 cm, BC = 10 cm, CD = 8 cm है।

ज्ञात करना है (Find)

AD ज्ञात कीजिए।

तरीका (Method)

हर बाहरी शीर्ष से खींचे गए दो स्पर्शखंड बराबर हैं। चार शीर्षों के बराबर खंड जोड़ने से विपरीत भुजाओं के योग बराबर मिलते हैं।

प्रयुक्त प्रमेय (Theorem)

एक ही बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

AB + CD = BC + AD

चरण (Step) 2

15 + 8 = 10 + AD, इसलिए AD = 23 − 10 = 13 cm

उत्तर (Answer)

AD = 13 cm

ध्यान रखें (Remember)

AB + CD = BC + AD तभी लागू करें जब वृत्त चारों भुजाओं को स्पर्श करे।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
AB + BC = CD + AD समझकर हल करना (पड़ोसी भुजाओं को जोड़ना) ❌
बराबर जोड़े सामने वाली भुजाओं के बनते हैं (AB-CD, BC-AD) — पड़ोसी भुजाओं (AB-BC) के नहीं।
सही सूत्र हमेशा AB + CD = BC + AD है, चतुर्भुज को किसी भी तरह घुमाकर नाम दें।
AB + CD = BC + AD से: 7 + 5 = 9 + AD, इसलिए AD = 3 cm

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

चतुर्भुज ABCD एक वृत्त का परिगत (Circumscribes) है। यदि AB = 17 cm, BC = 15 cm, और CD = 16 cm है, तो AD ज्ञात कीजिए।

सवाल 3

चतुर्भुज ABCD एक वृत्त का परिगत (Circumscribes) है। यदि AB = 12 cm, BC = 9 cm, और CD = 13 cm है, तो AD ज्ञात कीजिए।
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
अब खुद करके देखिए (Try it)कॉपी में लिखें — हल से मिलाएँ← पिछला विषय (Previous topic): स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात करनाअगला विषय (Next topic): त्रिभुज के अंतः वृत्त से स्पर्श रेखा खंड →