📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)एक त्रिभुजाकार क्यारी के तीनों कोनों के निर्देशांक ग्राफ़ पेपर पर लिखे हैं। क्यारी कितनी बड़ी है — बिना उसे नापे?
🧠 समझिए (Understand)तीन शीर्षों (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) से त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र है।
यह सूत्र आधार और ऊँचाई की ज़रूरत नहीं छोड़ता — सिर्फ़ निर्देशांक चाहिए।
निर्देशांक से क्षेत्रफल निकालते समय धन और ऋण पद क्रम से जोड़ते हैं; अंत में परिमाण लेते हैं।
उदाहरण 1 (Example 1) — (0,1), (0,5), (3,4)त्रिभुज ABC के शीर्ष A(0,1), B(0,5), C(3,4) हैं। क्षेत्रफल?
दिया हुआ (Given)
त्रिभुज ABC के शीर्ष A(0,1), B(0,5), C(3,4) हैं।
ज्ञात करना है (Find)
क्षेत्रफल?
तरीका (Method)
निर्देशांक से क्षेत्रफल निकालते समय धन और ऋण पद क्रम से जोड़ते हैं; अंत में परिमाण लेते हैं।
चित्र को समझें (Read the diagram)
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।प्रयुक्त सूत्र (Formula)
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 |x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)|।
चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें
½ |0(5−4) + 0(4−1) + 3(1−5)| = ½ |0 + 0 − 12| = ½ × 12 = 6
उत्तर (Answer)
क्षेत्रफल = 6 वर्ग इकाई
ध्यान रखें (Remember)
क्षेत्रफल कभी ऋणात्मक नहीं। उत्तर 0 हो तो बिंदु संरेख हैं।
उदाहरण 2 (Example 2) — (−5,−1), (3,−5), (5,2)त्रिभुज के शीर्ष (−5, −1), (3, −5), (5, 2) हैं। क्षेत्रफल?
दिया हुआ (Given)
त्रिभुज के शीर्ष (−5, −1), (3, −5), (5, 2) हैं।
ज्ञात करना है (Find)
क्षेत्रफल?
तरीका (Method)
निर्देशांक से क्षेत्रफल निकालते समय धन और ऋण पद क्रम से जोड़ते हैं; अंत में परिमाण लेते हैं।
चित्र को समझें (Read the diagram)
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।प्रयुक्त सूत्र (Formula)
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 |x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)|।
चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें
½ |−5(−5−2) + 3(2+1) + 5(−1+5)| = ½ |35 + 9 + 20| = ½ × 64 = 32
उत्तर (Answer)
क्षेत्रफल = 32 वर्ग इकाई
ध्यान रखें (Remember)
क्षेत्रफल कभी ऋणात्मक नहीं। उत्तर 0 हो तो बिंदु संरेख हैं।
⚠️ आम ग़लती (Common mistake)(−5,−1), (3,−5), (5,2) के लिए केवल |35 + 9 + 20| = 64 लिख देना ❌
सूत्र में ½ है — आधा लेना न भूलें
½ × 64 = 32 वर्ग इकाई