← अध्ययनविशिष्ट कोणों से व्यंजक का मान ज्ञात करना (Evaluating with Standard Angle Values)
🔊 पूरा पाठ शिक्षक की तरह सुनें (AI Voice)पाठ देखते हुए सुनें। लाल पट्टी पर टैप करें या खींचकर आगे-पीछे जाएँ।
0:00--:--
आज क्या सीखेंगेविशिष्ट कोणों से व्यंजक का मान ज्ञात करना — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।
📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)बोर्ड के हर पेपर में 0°, 30°, 45°, 60°, 90° के sin, cos, tan से जुड़ा कम-से-कम एक सवाल ज़रूर आता है।
इन पाँच कोणों के अनुपात किसी हिसाब से नहीं निकलते — एक तय तालिका है, जिसे याद रखना ही पड़ता है।
🧠 समझिए (Understand)ये पाँच कोण 'विशिष्ट कोण (Standard angles)' कहलाते हैं — इनके अनुपात सीधे, साफ़ रूप (भिन्न या √ में) आते हैं।
पहले हर मानक कोण का अनुपात लिखें, फिर सामान्य भिन्नों की तरह गणना करें।
0°, 30°, 45°, 60°, 90° पर sin के मान क्रमशः 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1 हैं।
इन्हीं कोणों पर cos के मान 1, √3/2, 1/√2, 1/2, 0 हैं। tan = sin/cos से 0, 1/√3, 1, √3 और 90° पर अपरिभाषित मिलता है।
सूत्र (Formula)sin: 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1 cos: 1, √3/2, 1/√2, 1/2, 0 (क्रम: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°)
tan A = sin A / cos A — tan की तालिका अलग से याद रखने की ज़रूरत नहीं।
90° पर tan और sec परिभाषित नहीं हैं — इस्तेमाल मत कीजिए।
✍️ कैसे करें (How to solve)- व्यंजक में हर जगह कोण का मान तालिका से रखिए।
- फिर सामान्य बीजगणित (जोड़, घटाव, गुणा, वर्ग) से हिसाब कीजिए।
- उत्तर एक साफ़ संख्या (पूर्णांक) आना चाहिए — अगर √ या भिन्न बचा रह जाए, तो दोबारा जाँचिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — जोड़नामान ज्ञात कीजिए: sin 30° + cos 60°
तरीका (Method)
पहले हर मानक कोण का अनुपात लिखें, फिर सामान्य भिन्नों की तरह गणना करें।
प्रयुक्त मान (Standard values)
0°, 30°, 45°, 60°, 90° के मानक sin, cos और tan मान पहले रखें, फिर भिन्न को सरल करें।
चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें
sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2
चरण (Step) 2
1/2 + 1/2 = 1
ध्यान रखें (Remember)
tan 90° और cosec 0° जैसे अपरिभाषित मानों से गणना न करें।
उदाहरण 2 (Example 2) — sec और tan के साथमान ज्ञात कीजिए: sec² 30° - tan² 30°
तरीका (Method)
पहले हर मानक कोण का अनुपात लिखें, फिर सामान्य भिन्नों की तरह गणना करें।
प्रयुक्त मान (Standard values)
0°, 30°, 45°, 60°, 90° के मानक sin, cos और tan मान पहले रखें, फिर भिन्न को सरल करें।
चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें
sec 30° = 2/√3, tan 30° = 1/√3
चरण (Step) 2
(2/√3)² - (1/√3)² = 4/3 - 1/3 = 1
ध्यान रखें (Remember)
tan 90° और cosec 0° जैसे अपरिभाषित मानों से गणना न करें।
⚠️ आम ग़लती (Common mistake)sin 90° + cos 0° - tan 45° को sin 90° = 0 मानकर हल करना → 0 + 1 - 1 = 0 ❌
sin 90° = 1 होता है, 0 नहीं — यह sin 0° (जो 0 है) के साथ गड़बड़ हो जाता है।
sin 0° = 0 और sin 90° = 1 — दोनों एक-दूसरे के उल्टे सिरे पर हैं, याद रखते समय मिलाइए मत।
sin 90° + cos 0° - tan 45° = 1 + 1 - 1 = 1
खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल
पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।
📝 सारांश (Summary)- 0°, 30°, 45°, 60°, 90° के sin, cos, tan एक तय तालिका में याद रखने होते हैं।
- व्यंजक में हर जगह तालिका का मान रखकर, फिर सामान्य बीजगणित से हिसाब कीजिए।
- tan 90° और cosec 0° जैसे अपरिभाषित मानों से गणना न करें।
💡 टिप (Tip)अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
अब खुद करके देखिए (Try it)कॉपी में लिखें — हल से मिलाएँइस विषय के बोर्ड प्रश्न — 3 सवाल, पूरे हल के साथ← पिछला विषय (Previous topic): प्रश्नावली 8.1अगला विषय (Next topic): प्रश्नावली 8.2 →