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पासे से जुड़ी प्रायिकता (Probability with a Die)

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आज क्या सीखेंगे

पासे से जुड़ी प्रायिकता — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
अजय अपने दोस्तों के साथ लूडो खेलता है। हर चाल से पहले वह पासा फेंकता है।
उसे जानना है — अगली बार पासा फेंकने पर किसी खास संख्या के आने की कितनी संभावना है?
🧠 समझिए (Understand)
परिणाम (Outcome): पासा फेंकने पर जो संख्या ऊपर आए — 1 से 6 में से कोई एक।
अनुकूल परिणाम (Favourable outcome): वे परिणाम, जो पूछी गई शर्त को पूरा करते हैं।
निष्पक्ष छह-मुखी पासे के हर अंक की संभावना बराबर है। पहले अनुकूल अंक स्पष्ट सूची में लिखें।
सूत्र (Formula)
P(E) = अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी संभव परिणामों की संख्या
पासे के सभी संभव परिणाम हमेशा 6 होते हैं — 1, 2, 3, 4, 5, 6।
उत्तर हमेशा सरलतम रूप में लिखिए।
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. सभी संभव परिणाम गिनिए — पासे के लिए यह हमेशा 6 है।
  2. शर्त पूरी करने वाले परिणाम गिनिए — यही अनुकूल परिणाम हैं।
  3. P(E) = अनुकूल / कुल, फिर सरलतम रूप में लिखिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — बड़ी संख्या
पासा फेंकने पर 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

तरीका (Method)

निष्पक्ष छह-मुखी पासे के हर अंक की संभावना बराबर है। पहले अनुकूल अंक स्पष्ट सूची में लिखें।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

एक निष्पक्ष पासे के 6 समान-संभावित परिणाम {1,2,3,4,5,6} हैं। P(E)=अनुकूल परिणाम/6।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

अनुकूल परिणाम = 5, 6 → संख्या = 2

उत्तर (Answer)

P(E) = 2/6 = 1/3

ध्यान रखें (Remember)

पासे पर 1 से 6 तक ही अंक हैं। अनुकूल गिनती 6 से अधिक नहीं हो सकती।

उदाहरण 2 (Example 2) — छोटी या बराबर संख्या
पासा फेंकने पर 4 के बराबर या उससे छोटी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

तरीका (Method)

निष्पक्ष छह-मुखी पासे के हर अंक की संभावना बराबर है। पहले अनुकूल अंक स्पष्ट सूची में लिखें।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

एक निष्पक्ष पासे के 6 समान-संभावित परिणाम {1,2,3,4,5,6} हैं। P(E)=अनुकूल परिणाम/6।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

अनुकूल परिणाम = 1, 2, 3, 4 → संख्या = 4

उत्तर (Answer)

P(E) = 4/6 = 2/3

ध्यान रखें (Remember)

पासे पर 1 से 6 तक ही अंक हैं। अनुकूल गिनती 6 से अधिक नहीं हो सकती।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
अनुकूल परिणाम = 3, 5 (2 को भूल गए) → P(E) = 2/6 = 1/3 ❌
2 भी एक अभाज्य संख्या (Prime number) है — यह सबसे आम भूल है
सही अनुकूल परिणाम = 2, 3, 5 → संख्या = 3
P(E) = 3/6 = 1/2

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

एक पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि ऊपर आई संख्या 3 का गुणज (multiple of 3) हो?

सवाल 3

एक पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि ऊपर आई संख्या 2 का गुणज (multiple of 2) हो?
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
अब खुद करके देखिए (Try it)कॉपी में लिखें — हल से मिलाएँ← पिछला विषय (Previous topic): पूरक घटनाअगला विषय (Next topic): ताश के पत्तों से जुड़ी प्रायिकता →