अभ्यास — प्रश्नावली 3.6 (Exercise 3.6)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

1. यदि शांत जल में नाव की चाल 8 किमी/घंटा हो तथा धारा की चाल 3 किमी/घंटा हो तो धारा के प्रतिकूल (Upstream) नाव की आपेक्षिक चाल हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 11 किमी/घंटा

   (B) 5 किमी/घंटा

   (C) 8 किमी/घंटा

   (D) 3 किमी/घंटा
   उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. निम्न समीकरण युग्म को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल कर हल कीजिए — 1/(2x) + 1/(3y) = 2, 1/(3x) + 1/(2y) = 13/6
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त प्रतिस्थापन (Substitution)

   जहाँ 1/x और 1/y बार-बार आएँ, वहाँ u = 1/x और v = 1/y रखें। पहले u, v निकालें; फिर x = 1/u और y = 1/v करें।

   चरण (Step) 1 — परिभाषित मान और प्रतिस्थापन

   x और y शून्य नहीं हैं। p=1/x, q=1/y लें। 6 से गुणा करने पर 3p+2q=12 और 2p+3q=13।

   चरण (Step) 2 — एक चर हटाएँ

   पहले को 3 से: 9p+6q=36। दूसरे को 2 से: 4p+6q=26। घटाने पर 5p=10, p=2।

   चरण (Step) 3 — मूल अज्ञात निकालें

   3×2+2q=12 से q=3। इसलिए x=1/2, y=1/3।

   उत्तर (Answer)

   x=1/2, y=1/3।

2. निम्न समीकरण युग्म को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल कर हल कीजिए — 2/√x + 3/√y = 2, 4/√x − 9/√y = −1
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त विधि (Method)

   विलोपन विधि (Elimination): किसी एक चर के गुणांक बराबर करें। फिर समीकरणों को जोड़ या घटाकर उस चर को हटाएँ, दूसरा चर निकालें और वापस रखकर पहला चर पाएँ।

   चरण (Step) 1 — परिभाषित मान और प्रतिस्थापन

   x>0, y>0। p=1/√x, q=1/√y लें। 2p+3q=2 और 4p−9q=−1।

   चरण (Step) 2 — एक चर हटाएँ

   पहले को 2 से: 4p+6q=4। इसमें से दूसरा घटाएँ: 15q=5, q=1/3।

   चरण (Step) 3 — मूल अज्ञात निकालें

   2p+1=2 से p=1/2। इसलिए √x=2, x=4; √y=3, y=9।

   उत्तर (Answer)

   √x=2, x=4; √y=3, y=9।

3. निम्न समीकरण युग्म को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल कर हल कीजिए — 4/x + 3y = 14, 3/x − 4y = 23
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त विधि (Method)

   विलोपन विधि (Elimination): किसी एक चर के गुणांक बराबर करें। फिर समीकरणों को जोड़ या घटाकर उस चर को हटाएँ, दूसरा चर निकालें और वापस रखकर पहला चर पाएँ।

   चरण (Step) 1 — परिभाषित मान और प्रतिस्थापन

   x≠0। p=1/x लें। 4p+3y=14 और 3p−4y=23।

   चरण (Step) 2 — एक चर हटाएँ

   पहले को 4 से: 16p+12y=56। दूसरे को 3 से: 9p−12y=69। जोड़ने पर 25p=125, p=5।

   चरण (Step) 3 — मूल अज्ञात निकालें

   20+3y=14 से y=−2। इसलिए x=1/5।

   उत्तर (Answer)

   x=1/5।

4. निम्न समीकरण युग्म को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल कर हल कीजिए — 5/(x−1) + 1/(y−2) = 2, 6/(x−1) − 3/(y−2) = 1
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त प्रतिस्थापन (Substitution)

   जहाँ 1/x और 1/y बार-बार आएँ, वहाँ u = 1/x और v = 1/y रखें। पहले u, v निकालें; फिर x = 1/u और y = 1/v करें।

   चरण (Step) 1 — परिभाषित मान और प्रतिस्थापन

   x≠1 और y≠2। p=1/(x−1), q=1/(y−2) लें। 5p+q=2; 6p−3q=1।

   चरण (Step) 2 — एक चर हटाएँ

   पहले को 3 से गुणा कर दूसरे में जोड़ें: 15p+3q+6p−3q=6+1। 21p=7, p=1/3।

   चरण (Step) 3 — मूल अज्ञात निकालें

   5/3+q=2 से q=1/3। इसलिए x−1=3, x=4; y−2=3, y=5।

   उत्तर (Answer)

   x−1=3, x=4; y−2=3, y=5।

5. निम्न समीकरण युग्म को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल कर हल कीजिए — (7x−2y)/(xy) = 5, (8x+7y)/(xy) = 15
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त विधि (Method)

   विलोपन विधि (Elimination): किसी एक चर के गुणांक बराबर करें। फिर समीकरणों को जोड़ या घटाकर उस चर को हटाएँ, दूसरा चर निकालें और वापस रखकर पहला चर पाएँ।

   चरण (Step) 1 — परिभाषित मान और प्रतिस्थापन

   x,y≠0। भिन्न खोलें: 7/y−2/x=5 और 8/y+7/x=15। p=1/x, q=1/y लें। −2p+7q=5; 7p+8q=15।

   चरण (Step) 2 — एक चर हटाएँ

   पहले को 7 से: −14p+49q=35। दूसरे को 2 से: 14p+16q=30। जोड़ने पर 65q=65, q=1।

   चरण (Step) 3 — मूल अज्ञात निकालें

   −2p+7=5 से p=1। इसलिए x=1, y=1।

   उत्तर (Answer)

   x=1, y=1।

6. निम्न समीकरण युग्म को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल कर हल कीजिए — 6x + 3y = 6xy, 2x + 4y = 5xy
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त विधि (Method)

   विलोपन विधि (Elimination): किसी एक चर के गुणांक बराबर करें। फिर समीकरणों को जोड़ या घटाकर उस चर को हटाएँ, दूसरा चर निकालें और वापस रखकर पहला चर पाएँ।

   चरण (Step) 1 — शून्य की स्थिति पहले देखें

   मूल समीकरण 6x+3y=6xy और 2x+4y=5xy हैं। x=0 रखने पर y=0 मिलता है और दोनों समीकरण पूरे होते हैं। इसलिए (0,0) भी हल है।

   चरण (Step) 2 — अब अशून्य स्थिति लें

   x,y≠0 के लिए xy से भाग दें: 3/x+6/y=6 और 4/x+2/y=5। p=1/x, q=1/y रखने पर 3p+6q=6 और 4p+2q=5।

   चरण (Step) 3 — विलोपन करें

   दूसरे को 3 से: 12p+6q=15। पहला घटाएँ: 9p=9, p=1। फिर 4+2q=5 से q=1/2।

   चरण (Step) 4 — वापस बदलें

   x=1/p=1 और y=1/q=2। मूल समीकरणों में 6+6=12 और 2+8=10 मिलता है।

   उत्तर (Answer)

   सभी हल: (x,y)=(0,0) तथा (1,2)। xy से भाग करते समय शून्य वाला हल न खोएँ।

7. निम्न समीकरण युग्म को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल कर हल कीजिए — 10/(x+y) + 2/(x−y) = 4, 15/(x+y) − 5/(x−y) = −2
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त विधि (Method)

   विलोपन विधि (Elimination): किसी एक चर के गुणांक बराबर करें। फिर समीकरणों को जोड़ या घटाकर उस चर को हटाएँ, दूसरा चर निकालें और वापस रखकर पहला चर पाएँ।

   चरण (Step) 1 — परिभाषित मान और प्रतिस्थापन

   x+y≠0 और x−y≠0। p=1/(x+y), q=1/(x−y) लें। 10p+2q=4; 15p−5q=−2।

   चरण (Step) 2 — एक चर हटाएँ

   पहले को 5 से: 50p+10q=20। दूसरे को 2 से: 30p−10q=−4। जोड़ने पर 80p=16, p=1/5।

   चरण (Step) 3 — मूल अज्ञात निकालें

   2+2q=4 से q=1। इसलिए x+y=5, x−y=1। जोड़ने पर x=3, फिर y=2।

   उत्तर (Answer)

   x+y=5, x−y=1। जोड़ने पर x=3, फिर y=2।

8. निम्न समीकरण युग्म को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल कर हल कीजिए — 1/(3x+y) + 1/(3x−y) = 3/4, 1/(2(3x+y)) − 1/(2(3x−y)) = −1/8
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त प्रतिस्थापन (Substitution)

   जहाँ 1/x और 1/y बार-बार आएँ, वहाँ u = 1/x और v = 1/y रखें। पहले u, v निकालें; फिर x = 1/u और y = 1/v करें।

   चरण (Step) 1 — प्रतिस्थापन करें

   1/(3x+y)=p, 1/(3x−y)=q रखें। p+q=3/4, p/2−q/2=−1/8 यानी p−q=−1/4।

   चरण (Step) 2 — हल करें

   जोड़ने पर 2p=1/2, p=1/4। फिर q=1/2। इसलिए 3x+y=4, 3x−y=2। जोड़ने पर 6x=6, x=1। फिर y=1।

   उत्तर (Answer)

   x = 1, y = 1

9. रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)