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पूर्ण वर्ग बनाकर हल करें

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आज क्या सीखेंगे

वर्गमूल में ± लेकर दोनों मूल निकालें और जाँचें।

🧠 समझिए (Understand)
x² + 2hx में h² जोड़ने से (x + h)² बनता है।
समीकरण में संतुलन रखने के लिए जो एक ओर जोड़ें, वही दूसरी ओर भी जोड़ें।
सूत्र (Formula)
x² + 2hx + h² = (x + h)²
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. x² का गुणांक 1 करें और स्थिर पद हटाएँ।
  2. x के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों ओर जोड़ें।
  3. वर्गमूल में ± लेकर दोनों मूल निकालें और जाँचें।
उदाहरण 1 (Example 1) — साथ मिलकर हल करें — 1
1x² + (6)x + (5) = 0 को पूर्ण वर्ग बनाकर हल करें।

प्रयुक्त सर्वसमिका (Identity)

x² + 2hx + h² = (x + h)²। दोनों पक्षों में उचित संख्या जोड़कर पूर्ण वर्ग बनाते हैं, फिर वर्गमूल लेते समय ± दोनों चिह्न लेते हैं।

चरण (Step) 1 — x² का गुणांक 1 करें

दोनों ओर 1 से भाग दें: x² + (6)x + (5) = 0। स्थिर पद दूसरी ओर लें: x² + (6)x = -5।

चरण (Step) 2 — कौन-सा वर्ग बनेगा?

x का गुणांक 6 है। इसका आधा 3 और उस आधे का वर्ग 9 है। दोनों ओर यही जोड़ें।

चरण (Step) 3 — एक पूरा वर्ग लिखें

x² + (6)x + 9 = -5 + 9 = 4। बाईं ओर (x + (3))² है।

चरण (Step) 4 — दोनों चिह्न लें

x + (3) = ±√4। इसलिए x = -1 या -5। ± लेने से दोनों मूल शामिल होते हैं।

जाँच (Check)

दोनों मानों पर (x + (3))² = 4 मिलता है। इसे खोलने पर मूल समीकरण वापस आता है।

उदाहरण 2 (Example 2) — साथ मिलकर हल करें — 2
1x² + (-4)x + (-3) = 0 को पूर्ण वर्ग बनाकर हल करें।

प्रयुक्त सर्वसमिका (Identity)

x² + 2hx + h² = (x + h)²। दोनों पक्षों में उचित संख्या जोड़कर पूर्ण वर्ग बनाते हैं, फिर वर्गमूल लेते समय ± दोनों चिह्न लेते हैं।

चरण (Step) 1 — x² का गुणांक 1 करें

दोनों ओर 1 से भाग दें: x² + (-4)x + (-3) = 0। स्थिर पद दूसरी ओर लें: x² + (-4)x = 3।

चरण (Step) 2 — कौन-सा वर्ग बनेगा?

x का गुणांक -4 है। इसका आधा -2 और उस आधे का वर्ग 4 है। दोनों ओर यही जोड़ें।

चरण (Step) 3 — एक पूरा वर्ग लिखें

x² + (-4)x + 4 = 3 + 4 = 7। बाईं ओर (x + (-2))² है।

चरण (Step) 4 — दोनों चिह्न लें

x + (-2) = ±√7। इसलिए x = 2 + √7 या 2 − √7। ± लेने से दोनों मूल शामिल होते हैं।

जाँच (Check)

दोनों मानों पर (x + (-2))² = 7 मिलता है। इसे खोलने पर मूल समीकरण वापस आता है।

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

x² + 8x को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए क्या जोड़ें?

सवाल 2

(x − 2)² = 9 से x क्या है?

सवाल 3

एक तरफ 4 जोड़ें तो दूसरी तरफ?
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
पहले स्वयं कॉपी में पूरा उत्तर लिखें, फिर समाधान के प्रत्येक चरण से मिलाएँ।
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