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मूलों से समीकरण बनाना (Forming an Equation from Its Roots)

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आज क्या सीखेंगे

मूलों से समीकरण बनाना — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
एक बही में लिखा है कि किसी समीकरण के मूल 2 और 3 हैं। मुंशी जी समीकरण लिखना चाहते हैं।
मूलों से समीकरण सीधा बनता है: x² − (योग)x + (गुणनफल) = 0।
🧠 समझिए (Understand)
मूल p और q हों, तो समीकरण = x² − (p + q)x + pq = 0 (x² का गुणांक 1 मानकर)।
यहाँ x का गुणांक −(योग) है और अचर पद गुणनफल है।
जिन मूलों पर समीकरण 0 होना है, उनके लिए (x − p)(x − q) = 0 लिख सकते हैं।
सूत्र (Formula)
x² − (p + q)x + pq = 0
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. दोनों मूलों का योग (p + q) निकालिए।
  2. दोनों का गुणनफल (pq) निकालिए।
  3. x² − (योग)x + (गुणनफल) लिखिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — मूल 2 और 3, अचर पद
मूल 2 और 3 वाले समीकरण का अचर पद क्या है (x² का गुणांक 1)?

तरीका (Method)

जिन मूलों पर समीकरण 0 होना है, उनके लिए (x − p)(x − q) = 0 लिख सकते हैं।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

यदि मूल p और q हों, तो समीकरण x² − (p + q)x + pq = 0 बनता है। इसका कोई भी अशून्य गुणज भी वही मूल देता है।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

योग = 5, गुणनफल = 6

चरण (Step) 2

समीकरण: x² − 5x + 6 = 0

उत्तर (Answer)

अचर पद = 6

ध्यान रखें (Remember)

बना समीकरण खोलें और मूलों का योग तथा गुणनफल वापस मिलाएँ।

उदाहरण 2 (Example 2) — बराबर मूल 5 और 5
मूल 5 और 5 वाले समीकरण का अचर पद क्या है?

तरीका (Method)

जिन मूलों पर समीकरण 0 होना है, उनके लिए (x − p)(x − q) = 0 लिख सकते हैं।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

यदि मूल p और q हों, तो समीकरण x² − (p + q)x + pq = 0 बनता है। इसका कोई भी अशून्य गुणज भी वही मूल देता है।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

योग = 10, गुणनफल = 25

चरण (Step) 2

समीकरण: x² − 10x + 25 = 0

उत्तर (Answer)

अचर पद = 25

ध्यान रखें (Remember)

बना समीकरण खोलें और मूलों का योग तथा गुणनफल वापस मिलाएँ।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
मूल 2 और 3 से x का गुणांक +5 लिखना ❌
x का गुणांक −(योग) होता है, +(योग) नहीं
x² − 5x + 6 = 0, इसलिए x का गुणांक −5

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

जिस द्विघात समीकरण के मूल 5 और 6 हैं, उसका x² का गुणांक 1 मानकर, उसका x का गुणांक ज्ञात कीजिए।

सवाल 3

जिस द्विघात समीकरण के मूल 0 और -4 हैं, उसका x² का गुणांक 1 मानकर, उसका x का गुणांक ज्ञात कीजिए।
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
अब खुद करके देखिए (Try it)कॉपी में लिखें — हल से मिलाएँ← पिछला विषय (Previous topic): एक मूल दिया हो तो दूसरा मूलअगला विषय (Next topic): पूर्ण वर्ग बनाकर हल करें →