उत्तर समझें — चरण दर चरण

प्रमेय का कथन (Statement)

दो समरूप त्रिभुजों (Similar triangles) के क्षेत्रफलों (Areas) का अनुपात (Ratio) उनकी संगत भुजाओं (Corresponding sides) के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

दिया हुआ (Given)

ΔABC ∼ ΔDEF। संगत (Corresponding) शीर्ष A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F हैं।

सिद्ध करना है (To prove)

क्षेत्रफल(ABC)/क्षेत्रफल(DEF) = (AB/DE)²।

रचना और चित्र (Construction)

A से BC पर लंब (Perpendicular) AX और D से EF पर लंब DY खींचें। नीचे BC और EF आधार हैं; AX और DY उनकी ऊँचाइयाँ हैं।

प्रमाण का तरीका (Proof plan)

क्षेत्रफल में आधार × ऊँचाई (Height) आता है। पहले दिखाएँगे कि संगत ऊँचाइयों का अनुपात भी संगत भुजाओं जितना है।

चरण (Step) 1 — ऊँचाइयों का अनुपात

समकोण त्रिभुज (Right-angled triangle) ABX और DEY में B = E और X = Y = 90°। AA से ये समरूप (Similar) हैं। इसलिए AX/DY = AB/DE।

चरण (Step) 2 — क्षेत्रफल का अनुपात लिखें

ar(ABC)/ar(DEF) = [(1/2)BC × AX]/[(1/2)EF × DY] = (BC/EF)(AX/DY)।

चरण (Step) 3 — समरूपता (Similarity) का उपयोग

BC/EF = AB/DE और AX/DY = AB/DE। इसलिए क्षेत्रफलों का अनुपात = (AB/DE)²। इसी तरह किसी भी संगत भुजा-जोड़ी का वर्ग लिया जा सकता है।

निष्कर्ष (Conclusion)

क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर है।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग: ar(Δ1)/ar(Δ2) = (side1/side2)²।