अभ्यास — प्रश्नावली 6.4 (Exercise 6.4)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

1. सही उत्तर चुनिए — ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिंदु है। त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है:
   (A) 2 : 1

   (B) 1 : 2

   (C) 4 : 1

   (D) 1 : 4
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग: ar(Δ1)/ar(Δ2) = (side1/side2)²।

   चरण (Step) 1 — भुजाओं का अनुपात

   BDE की भुजा BD, ABC की भुजा BC की आधी है (D मध्य-बिंदु), इसलिए भुजाओं का अनुपात 2:1।

   चरण (Step) 2 — क्षेत्रफल अनुपात

   दोनों समबाहु (समरूप) त्रिभुज हैं — क्षेत्रफल अनुपात = (2)² = 4:1।

   उत्तर (Answer)

   4 : 1

2. सही उत्तर चुनिए — दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4:9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है:बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
   (A) 2 : 3

   (B) 4 : 9

   (C) 81 : 16

   (D) 16 : 81
   उत्तर देखें (See answer)
3. दो समरूप त्रिभुजों (Similar triangles) के क्षेत्रफलों (Areas) का अनुपात (Ratio) 4 : 9 है तो उनकी संगत भुजाओं (Corresponding sides) का अनुपात हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 3 : 2

   (B) 9 : 4

   (C) 4 : 9

   (D) 2 : 3
   उत्तर देखें (See answer)
4. यदि दो समरूप त्रिभुजों (Similar triangles) के क्षेत्रफलों (Areas) का अनुपात (Ratio) 121 : 225 हो, तो उनकी संगत भुजाओं (Corresponding sides) का अनुपात हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 13 : 25

   (B) 15 : 13

   (C) 11 : 15

   (D) 15 : 11
   उत्तर देखें (See answer)
5. दो समरूप त्रिभुजों (Similar triangles) की संगत (Corresponding) भुजाएँ 7 : 5 के अनुपात (Ratio) में हैं। त्रिभुजों के क्षेत्रफलों (Areas) का अनुपात हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 49 : 125

   (B) 14 : 25

   (C) 49 : 25

   (D) 25 : 49
   उत्तर देखें (See answer)
6. ΔABC ~ ΔXYZ तथा BC = 9 सेमी, YZ = 7 सेमी। यदि ΔABC का क्षेत्रफल (Area) 243 सेमी² हो, तो ΔXYZ का क्षेत्रफल हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 289 सेमी²

   (B) 247 सेमी²

   (C) 189 सेमी²

   (D) 147 सेमी²
   उत्तर देखें (See answer)
7. दो समरूप त्रिभुजों (Similar triangles) के क्षेत्रफलों (Areas) का अनुपात (Ratio) 100 : 81 है, तो उनकी संगत (Corresponding) माध्यिकाओं का अनुपात हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 9 : 10

   (B) 10 : 9

   (C) 81 : 100

   (D) 15 : 81
   उत्तर देखें (See answer)
8. यदि दो समरूप त्रिभुजों (Similar triangles) के क्षेत्रफलों (Areas) का अनुपात (Ratio) 100 : 144 है, तो उनकी संगत भुजाओं (Corresponding sides) का अनुपात हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
   (A) 10 : 8

   (B) 12 : 10

   (C) 10 : 12

   (D) 10 : 13
   उत्तर देखें (See answer)
9. ΔABC ~ ΔDEF तथा BC = 3 सेमी, EF = 4 सेमी। यदि ΔABC का क्षेत्रफल (Area) 54 सेमी² हो, तो ΔDEF का क्षेत्रफल हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
   (A) 56 सेमी²

   (B) 96 सेमी²

   (C) 196 सेमी²

   (D) 49 सेमी²
   उत्तर देखें (See answer)
10. यदि समबाहु त्रिभुज (Equilateral triangle) ABC की एक भुजा 12 सेमी तथा समबाहु त्रिभुज DEF की एक भुजा 6 सेमी हो तो क्षेत्रफल (Area)(△ABC)/क्षेत्रफल(△DEF)=बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) 2:1

    (B) 1:2

    (C) 4:1

    (D) 2:3
    उत्तर देखें (See answer)
11. ABC एवं PQR समरूप (Similar) त्रिभुज हैं जिसमें AD, शीर्ष A से BC पर लंब (Perpendicular) है तथा PT शीर्ष P से QR पर लंब है। यदि AD=9 सेमी एवं PT=7 सेमी हो तो त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज PQR के क्षेत्रफलों (Areas) का अनुपात (Ratio) होगाबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) 9:7

    (B) 7:9

    (C) 16:25

    (D) 81:49
    उत्तर देखें (See answer)
12. दो समरूप त्रिभुजों (Similar triangles) के क्षेत्रफलों (Areas) का अनुपात (Ratio) 121 : 64 है, तो उनके संगत (Corresponding) माध्यिकाओं का अनुपात हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 11 : 8

    (B) 8 : 11

    (C) 121 : 64

    (D) 12 : 91
    उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. मान लीजिए ΔABC ~ ΔDEF है और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 cm² और 121 cm² हैं। यदि EF = 15.4 cm हो, तो BC ज्ञात कीजिए।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)
2. एक समलंब ABCD जिसमें AB || DC है, के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2 CD हो तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   एक समलंब ABCD जिसमें AB || DC है, के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। AB = 2 CD हो।

   ज्ञात करना है (Find)

   त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   O पर दोनों विकर्ण मिलते हैं। A, O, C एक रेखा पर और B, O, D दूसरी रेखा पर हैं।

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग: ar(Δ1)/ar(Δ2) = (side1/side2)²।

   चरण (Step) 1 — समरूप त्रिभुज पहचानें

   AB || DC से एकांतर कोण बराबर हैं, इसलिए ΔAOB ~ ΔCOD (AA कसौटी)।

   चरण (Step) 2 — क्षेत्रफल अनुपात

   ar(AOB)/ar(COD) = (AB/CD)² = (2CD/CD)² = 4। अनुपात 4:1 है।

   उत्तर (Answer)

   4 : 1

3. ΔABC ~ ΔPQR तथा इनके क्षेत्रफल (Area) क्रमशः 64 सेमी² तथा 121 सेमी² हैं। यदि QR = 15.4 सेमी तो BC का मान निकालें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
4. ΔABC तथा ΔDEF समरूप (Similar) हैं तथा इनके क्षेत्रफल (Area) क्रमशः 25 सेमी² तथा 49 सेमी² हैं। यदि EF = 9.8 सेमी हो तो BC ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
5. ΔABC तथा ΔDEF समरूप (Similar) हैं तथा इनके क्षेत्रफल (Area) क्रमशः 9 सेमी² तथा 64 सेमी² हैं। यदि DE = 5.1 सेमी हो तो AB ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer — 5 अंक प्रत्येक)

1. सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   वर्ग ABCD की भुजा a है। AB पर ABE और AC पर ACF समबाहु त्रिभुज हैं।

   सिद्ध करना है (To prove)

   ar(ABE) = ½ ar(ACF)।

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   ABCD वर्ग है। ABE, भुजा AB पर और ACF, विकर्ण AC पर समबाहु त्रिभुज हैं।

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   संगत भुजाओं का अनुपात = √(क्षेत्रफलों का अनुपात)। वर्गमूल लेते समय लंबाई के लिए धनात्मक मान लें।

   चरण (Step) 1 — विकर्ण निकालें

   वर्ग में ∠ABC=90° तथा AB=BC=a। पाइथागोरस से AC²=a²+a²=2a²।

   चरण (Step) 2 — क्षेत्रफल का अनुपात

   समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल-अनुपात = संगत भुजाओं के वर्गों का अनुपात। इसलिए ar(ABE)/ar(ACF) = AB²/AC² = a²/(2a²)=1/2।

   निष्कर्ष (Conclusion)

   भुजा पर बने समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल, विकर्ण पर बने समबाहु त्रिभुज का आधा है।

2. सिद्ध करें कि दो समरूप त्रिभुजों (Similar triangles) के क्षेत्रफलों (Areas) का अनुपात (Ratio) उनकी संगत भुजाओं (Corresponding sides) के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024, 2026उत्तर देखें (See answer)