उत्तर समझें — चरण दर चरण

प्रमेय का कथन (Statement)

किसी समकोण त्रिभुज (Right-angled triangle) में कर्ण (Hypotenuse) का वर्ग बाकी दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। कर्ण समकोण के सामने वाली भुजा है।

दिया हुआ (Given)

ΔABC में ∠A = 90° है। समकोण के सामने वाली भुजा BC कर्ण है।

सिद्ध करना है (To prove)

AB² + AC² = BC²।

रचना और चित्र (Construction)

A से BC पर लंब (Perpendicular) AD खींचें। D, B और C के बीच है। इससे बड़ा त्रिभुज दो छोटे समकोण त्रिभुजों ABD और ACD में बँटता है।

प्रमाण का तरीका (Proof plan)

दोनों छोटे त्रिभुजों को बड़े त्रिभुज से समरूप (Similar) दिखाएँगे। इससे AB² और AC² को कर्ण के हिस्सों से जोड़ने वाले दो संबंध मिलेंगे; अंत में उन्हें जोड़ेंगे।

चरण (Step) 1 — पहला छोटा त्रिभुज देखें

ΔABD और बड़े ΔCBA में ∠ADB = ∠CAB = 90°। ∠ABD = ∠CBA भी है, क्योंकि BD और BC एक ही दिशा में हैं। दो कोण बराबर होने से AA कसौटी द्वारा ΔABD ∼ ΔCBA। संगत (Corresponding) भुजाएँ AB ↔ CB और BD ↔ BA हैं।
इसलिए AB/CB = BD/BA। दोनों ओर CB × BA से गुणा करें: AB² = BC × BD।

चरण (Step) 2 — दूसरा छोटा त्रिभुज देखें

ΔACD और बड़े ΔBCA में ∠ADC = ∠BAC = 90° तथा ∠ACD = ∠BCA। यहाँ CD और CB एक ही दिशा में हैं। इसलिए AA से ΔACD ∼ ΔBCA।
संगत भुजाओं (Corresponding sides) से AC/BC = CD/CA। दोनों ओर BC × CA से गुणा करें: AC² = BC × CD।

चरण (Step) 3 — दोनों परिणाम जोड़ें

AB² + AC² = BC × BD + BC × CD।
दोनों पदों में BC साझा है: AB² + AC² = BC × (BD + CD)। चित्र में BD और DC मिलकर पूरी भुजा BC बनाते हैं। इसलिए BD + CD = BC।

निष्कर्ष (Conclusion)

AB² + AC² = BC²। अतः पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras’ theorem) सिद्ध हुआ।

प्रयुक्त प्रमेय (Theorem)

पाइथागोरस प्रमेय: समकोण त्रिभुज में कर्ण² = आधार² + लंब²। अज्ञात भुजा के वर्ग को अलग करके धनात्मक वर्गमूल लें।