यदि सबसे बड़ी भुजा² = बाकी दो भुजाओं के वर्गों का योग, तो त्रिभुज समकोण त्रिभुज है।
7²+24²=49+576=625=25² — समकोण त्रिभुज है, कर्ण 25 cm।
3²+6²=9+36=45 ≠ 8²=64 — समकोण त्रिभुज नहीं है।
50²+80²=2500+6400=8900 ≠ 100²=10000 — समकोण नहीं। 5²+12²=25+144=169=13² — समकोण त्रिभुज है, कर्ण 13 cm।
(i) हाँ, कर्ण 25 cm (ii) नहीं (iii) नहीं (iv) हाँ, कर्ण 13 cm
10 m लंबी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 m की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है।
दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।
खड़ी ऊँचाई और क्षैतिज दूरी समकोण बनाती हैं। सीढ़ी, तार या डोरी तिरछी भुजा यानी कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय: समकोण त्रिभुज में कर्ण² = आधार² + लंब²। अज्ञात भुजा के वर्ग को अलग करके धनात्मक वर्गमूल लें।
सीढ़ी कर्ण है। दूरी² = 10² − 8² = 100−64 = 36।
दूरी = 6 m।
18 m ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खंभे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूँटे से जुड़ा हुआ है।
खंभे के आधार से खूँटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लंबाई 24 m है?
खड़ी ऊँचाई और क्षैतिज दूरी समकोण बनाती हैं। सीढ़ी, तार या डोरी तिरछी भुजा यानी कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय: समकोण त्रिभुज में कर्ण² = आधार² + लंब²। अज्ञात भुजा के वर्ग को अलग करके धनात्मक वर्गमूल लें।
दूरी² = 24² − 18² = 576−324 = 252।
दूरी = √252 = 6√7 m।
एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 km/hr की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 km/hr की चाल से उड़ता है।
1½ घंटे के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?
O से एक जहाज उत्तर और दूसरा पश्चिम जाता है। पहले चाल × समय से OA और OB निकालें, फिर दोनों के बीच AB।
पाइथागोरस प्रमेय: समकोण त्रिभुज में कर्ण² = आधार² + लंब²। अज्ञात भुजा के वर्ग को अलग करके धनात्मक वर्गमूल लें।
1.5 घंटे में पहला जहाज 1500 km उत्तर, दूसरा 1800 km पश्चिम गया — दोनों दिशाएँ परस्पर लंब हैं।
दूरी² = 1500²+1800² = 2250000+3240000 = 5490000।
दूरी = √5490000 = 300√61 km।
दो खंभे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 m और 11 m हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। इनके आधारों के बीच की दूरी 12 m है।
इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
BE क्षैतिज दूरी 12 मी है। DE ऊँचाइयों का अंतर 11−6 = 5 मी है। BD दोनों शीर्षों की दूरी है।
पाइथागोरस प्रमेय: समकोण त्रिभुज में कर्ण² = आधार² + लंब²। अज्ञात भुजा के वर्ग को अलग करके धनात्मक वर्गमूल लें।
ऊँचाई का अंतर 11−6=5 m क्षैतिज दूरी 12 m के साथ समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ हैं।
दूरी² = 5²+12² = 25+144 = 169।
दूरी = 13 m।
एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
पाइथागोरस प्रमेय: समकोण त्रिभुज में कर्ण² = आधार² + लंब²। अज्ञात भुजा के वर्ग को अलग करके धनात्मक वर्गमूल लें।
समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
हर भुजा उन आधे-विकर्णों (d1/2, d2/2) पर बने समकोण त्रिभुज का कर्ण है — भुजा² = (d1/2)² + (d2/2)²।
चारों भुजाओं के वर्गों का योग = 4×[(d1/2)²+(d2/2)²] = d1²+d2² — जो दोनों विकर्णों के वर्गों का योग है।
नाज़िमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी की सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाज़िमा से दूरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी की सतह पर स्थित बिंदु से उसकी दूरी 2.4 m है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है? वह डोरी को 5 cm/s की दर से अंदर खींचे।
12 सेकंड के बाद नाज़िमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?
खड़ी ऊँचाई और क्षैतिज दूरी समकोण बनाती हैं। सीढ़ी, तार या डोरी तिरछी भुजा यानी कर्ण है।
समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
डोरी कर्ण है: ऊँचाई 1.8 m, क्षैतिज दूरी 2.4 m। डोरी² = 1.8²+2.4² = 3.24+5.76 = 9, डोरी = 3 m।
5 cm/s × 12 s = 60 cm = 0.6 m खींची गई। नई डोरी = 3−0.6 = 2.4 m।
क्षैतिज² = 2.4²−1.8² = 5.76−3.24 = 2.52, क्षैतिज = 3√7/5 ≈ 1.587 m।
नाज़िमा रॉड के नीचे वाले बिंदु से 1.2 m दूर खड़ी है, इसलिए कुल क्षैतिज दूरी ≈ 1.2+1.587 = 2.787 m।
डोरी = 3 m; 12 सेकंड बाद क्षैतिज दूरी ≈ 2.79 m