उत्तर समझें — चरण दर चरण

दिया हुआ (Given)

ΔABC समबाहु है; AB = BC = CA = a, जहाँ a > 0 है।

सिद्ध करना है (To prove)

शीर्ष A से आधार BC पर ऊँचाई (Height) (√3/2)a है।

रचना और चित्र (Construction)

A से BC पर लंब (Perpendicular) AD खींचें। समबाहु त्रिभुज (Equilateral triangle) में AB = AC = a है। नीचे पहले यह दिखाएँगे कि D आधार का मध्यबिंदु (Midpoint) है।

प्रमाण का तरीका (Proof plan)

बराबर भुजाओं वाले त्रिभुज में शीर्ष का लंब आधार को आधा करता है। बने छोटे समकोण त्रिभुज (Right-angled triangle) में पाइथागोरस लगाएंगे।

चरण (Step) 1 — आधा आधार निकालें

समकोण त्रिभुज ABD और ACD में कर्ण (Hypotenuse) AB = AC और AD साझा भुजा है। RHS से दोनों सर्वांगसम हैं। इसलिए BD = DC = a/2।

चरण (Step) 2 — ऊँचाई का वर्ग निकालें

ΔABD में पाइथागोरस से AD² = AB² − BD² = a² − (a/2)² = 3a²/4।

चरण (Step) 3 — धनात्मक वर्गमूल (Square root) लें

लंबाई धनात्मक है, इसलिए AD = √(3a²/4) = (√3/2)a।

निष्कर्ष (Conclusion)

AD = (√3/2)a। यही शीर्ष लंब है।

प्रयुक्त प्रमेय (Theorem)

पाइथागोरस प्रमेय: समकोण त्रिभुज में कर्ण² = आधार² + लंब²। अज्ञात भुजा के वर्ग को अलग करके धनात्मक वर्गमूल लें।