उत्तर समझें — चरण दर चरण

प्रमेय का कथन (Statement)

समकोण वाले शीर्ष से कर्ण (Hypotenuse) पर लंब (Perpendicular) खींचने पर बने दोनों छोटे त्रिभुज एक-दूसरे और मूल त्रिभुज के समरूप (Similar) होते हैं।

दिया हुआ (Given)

ΔABC में ∠A = 90° और AD ⟂ BC है।

सिद्ध करना है (To prove)

दोनों छोटे त्रिभुज एक-दूसरे तथा मूल त्रिभुज के समरूप हैं।

रचना और चित्र (Construction)

A से कर्ण BC पर लंब AD खींचें। D को BC पर लें। अब छोटे ABD और ACD को बड़े ABC से उनके बराबर कोणों द्वारा मिलाएँगे।

प्रमाण का तरीका (Proof plan)

हर छोटे त्रिभुज और बड़े त्रिभुज में दो बराबर कोण ढूँढ़ेंगे। दो कोण बराबर होना AA समरूपता (Similarity) के लिए पर्याप्त है।

चरण (Step) 1 — पहली जोड़ी

∠ADB = ∠CAB = 90° और ∠ABD = ∠CBA क्योंकि BD, BC पर है। AA से ΔABD ∼ ΔCBA।

चरण (Step) 2 — दूसरी जोड़ी

∠ADC = ∠BAC = 90° और ∠ACD = ∠BCA क्योंकि CD, CB पर है। AA से ΔACD ∼ ΔBCA।

चरण (Step) 3 — परस्पर समरूपता

दोनों छोटे त्रिभुजों के कोण वही तीन मान 90°, ∠B, ∠C हैं। सही क्रम में ΔABD ∼ ΔCAD भी है। इस तरह दोनों एक-दूसरे और मूल त्रिभुज के समरूप हैं।

निष्कर्ष (Conclusion)

ΔABD ∼ ΔCAD; दोनों छोटे त्रिभुज मूल ΔABC के भी समरूप हैं, संगत (Corresponding) शीर्षों के सही क्रम में।

प्रयुक्त नियम (Rule)

समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।