📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)तीन दोस्त एक सीधी पगडंडी पर चल रहे हैं। नक्शे पर उनके निर्देशांक लिखे हैं।
बिना नक्शा खींचे बताना है: क्या तीनों सच में एक ही सीधी रेखा पर हैं?
🧠 समझिए (Understand)तीन बिंदु संरेख (Collinear) तब होते हैं, जब वे एक ही सीधी रेखा पर हों।
इसकी जाँच के लिए x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂) निकालिए। यह शून्य हो तो संरेख हैं।
तीन संरेख बिंदुओं से त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 बनता है। क्षेत्रफल का दो गुना बिना ½ के भी जाँच सकते हैं।
उदाहरण 1 (Example 1) — (1, 1), (−2, 7), (3, −3)क्या बिंदु (1, 1), (−2, 7) और (3, −3) संरेख हैं?
तरीका (Method)
तीन संरेख बिंदुओं से त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 बनता है। क्षेत्रफल का दो गुना बिना ½ के भी जाँच सकते हैं।
चित्र को समझें (Read the diagram)
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।प्रयुक्त नियम (Rule)
तीन बिंदु संरेख होते हैं यदि उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 हो या दो ढलान बराबर हों।
चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें
1(7 − (−3)) + (−2)(−3 − 1) + 3(1 − 7) = 10 + 8 − 18 = 0
उत्तर (Answer)
हाँ, संरेख हैं
ध्यान रखें (Remember)
सभी निर्देशांक सही क्रम में रखें। ऊर्ध्वाधर रेखा पर भी यह विधि काम करती है।
उदाहरण 2 (Example 2) — (2, 3), (4, 7), (6, 11)क्या बिंदु (2, 3), (4, 7) और (6, 11) संरेख हैं?
तरीका (Method)
तीन संरेख बिंदुओं से त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 बनता है। क्षेत्रफल का दो गुना बिना ½ के भी जाँच सकते हैं।
चित्र को समझें (Read the diagram)
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।प्रयुक्त नियम (Rule)
तीन बिंदु संरेख होते हैं यदि उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 हो या दो ढलान बराबर हों।
चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें
2(7 − 11) + 4(11 − 3) + 6(3 − 7) = −8 + 32 − 24 = 0
उत्तर (Answer)
हाँ, संरेख हैं
ध्यान रखें (Remember)
सभी निर्देशांक सही क्रम में रखें। ऊर्ध्वाधर रेखा पर भी यह विधि काम करती है।
⚠️ आम ग़लती (Common mistake)(1, 2), (2, 3), (3, 5) के x-निर्देशांक क्रमागत हैं, इसलिए संरेख ❌
क्रमागत x-निर्देशांक संरेखता की गारंटी नहीं देते — सूत्र ही जाँचता है
1(3 − 5) + 2(5 − 2) + 3(2 − 3) = −2 + 6 − 3 = 1, इसलिए संरेख नहीं