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दूरी से अज्ञात निर्देशांक ज्ञात करना (Finding an Unknown Coordinate from a Distance)

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आज क्या सीखेंगे

दूरी से अज्ञात निर्देशांक ज्ञात करना — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
एक खेत में दो पेड़ हैं: Q(9, 4) और P(x, 8)। उनके बीच सीधी दूरी 5 मीटर है।
P का x-निर्देशांक क्या है, जो 9 से बड़ा है?
🧠 समझिए (Understand)
दूरी सूत्र से: (x − x₂)² + (y − y₂)² = दूरी²।
y का अंतर पहले से दिया है, इसलिए (x − x₂)² का मान निकलता है — और उसका वर्गमूल x के दो मान देता है।
सवाल जो मान माँगे (जैसे x₂ से बड़ा), उसी को चुनिए।
दी गई दूरी को वर्ग करके दूरी सूत्र के वर्गमूल से छुटकारा पाते हैं। अज्ञात के वर्ग से दो मान भी मिल सकते हैं।
सूत्र (Formula)
(x − x₂)² + (y − y₂)² = दूरी²
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. दूरी सूत्र में दिए निर्देशांक और दूरी रखिए।
  2. (y − y₂)² निकालकर घटाइए; बचा (x − x₂)²।
  3. वर्गमूल लीजिए, और जो मान सवाल की शर्त पर खरा उतरे, वही लीजिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — Q(9, 4), दूरी 5
P(x, 8) और Q(9, 4) के बीच की दूरी 5 है। x का वह मान जो 9 से बड़ा है?

दिया हुआ (Given)

P(x, 8) और Q(9, 4) के बीच की दूरी 5 है।

ज्ञात करना है (Find)

x का वह मान जो 9 से बड़ा है?

तरीका (Method)

दी गई दूरी को वर्ग करके दूरी सूत्र के वर्गमूल से छुटकारा पाते हैं। अज्ञात के वर्ग से दो मान भी मिल सकते हैं।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

अज्ञात निर्देशांक वाले बिंदु और दिए बिंदु के लिए (x−x₂)²+(y−y₂)² = दूरी²।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

(x − 9)² + (8 − 4)² = 5²

चरण (Step) 2

(x − 9)² = 25 − 16 = 9, इसलिए x − 9 = ±3

चरण (Step) 3

9 से बड़ा मान: x = 12

उत्तर (Answer)

x = 12

ध्यान रखें (Remember)

दोनों चिह्न वाले मान देखें और प्रश्न की अतिरिक्त शर्त से चयन करें।

उदाहरण 2 (Example 2) — Q(0, 0), दूरी 10
P(x, 8) और Q(0, 0) के बीच की दूरी 10 है। x का वह मान जो 0 से बड़ा है?

दिया हुआ (Given)

P(x, 8) और Q(0, 0) के बीच की दूरी 10 है।

ज्ञात करना है (Find)

x का वह मान जो 0 से बड़ा है?

तरीका (Method)

दी गई दूरी को वर्ग करके दूरी सूत्र के वर्गमूल से छुटकारा पाते हैं। अज्ञात के वर्ग से दो मान भी मिल सकते हैं।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

अज्ञात निर्देशांक वाले बिंदु और दिए बिंदु के लिए (x−x₂)²+(y−y₂)² = दूरी²।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

x² + 8² = 100, इसलिए x² = 36, x = ±6

चरण (Step) 2

0 से बड़ा मान: x = 6

उत्तर (Answer)

x = 6

ध्यान रखें (Remember)

दोनों चिह्न वाले मान देखें और प्रश्न की अतिरिक्त शर्त से चयन करें।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
P(x, 8) और Q(9, 4) के लिए x − 9 = −3 लेकर x = 6 मान लेना ❌
सवाल 9 से बड़ा मान माँगता है — x = 6 उससे छोटा है
दो मान मिलते हैं (x = 6 और x = 12), सवाल की शर्त देखकर चुनिए
x − 9 = +3, इसलिए x = 12

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

बिंदु P(x, 21) और Q(4, 6) के बीच की दूरी 17 इकाई है। x का वह मान ज्ञात कीजिए जो 4 से बड़ा है।

सवाल 3

बिंदु P(x, 16) और Q(-2, 1) के बीच की दूरी 17 इकाई है। x का वह मान ज्ञात कीजिए जो -2 से बड़ा है।
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
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