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मध्य बिंदु ज्ञात करना (Finding the Midpoint)

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आज क्या सीखेंगे

मध्य बिंदु ज्ञात करना — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
दो दोस्त, अनीता और सोनल, एक सीधी सड़क के दोनों सिरों पर रहते हैं। दोनों के घर के ठीक बीच में एक पार्क बनाना है।
पार्क के निर्देशांक क्या होंगे?
🧠 समझिए (Understand)
मध्य बिंदु दोनों बिंदुओं का ठीक बीच का बिंदु है — यह विभाजन सूत्र का 1 : 1 वाला ख़ास मामला है।
x और y, दोनों के लिए बस औसत निकालना होता है।
मध्य बिंदु दोनों सिरों से बराबर दूर है। इसलिए x के मानों का और y के मानों का अलग-अलग औसत लेते हैं।
ABM
सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।
सूत्र (Formula)
मध्य बिंदु = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. दोनों बिंदुओं के x-निर्देशांक जोड़िए और 2 से भाग दीजिए।
  2. उसी तरह y-निर्देशांक के लिए करिए।
  3. पहले x, फिर y लिखिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — A(−1, 3), B(5, −1)
A(−1, 3) और B(5, −1) का मध्य बिंदु?

तरीका (Method)

मध्य बिंदु दोनों सिरों से बराबर दूर है। इसलिए x के मानों का और y के मानों का अलग-अलग औसत लेते हैं।

चित्र को समझें (Read the diagram)

बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।

निर्देशांक समान पैमाने पर; बिंदुओं के मान चित्र के नीचे हैं।xy0AA(-1, 3)BB(5, -1)
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

मध्य बिंदु M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

x = (−1 + 5)/2 = 2

चरण (Step) 2

y = (3 − 1)/2 = 1

उत्तर (Answer)

मध्य बिंदु = (2, 1)

ध्यान रखें (Remember)

मध्य बिंदु की दोनों सिरों से दूरी बराबर हो।

उदाहरण 2 (Example 2) — A(4, −2), B(−10, 6)
A(4, −2) और B(−10, 6) का मध्य बिंदु?

तरीका (Method)

मध्य बिंदु दोनों सिरों से बराबर दूर है। इसलिए x के मानों का और y के मानों का अलग-अलग औसत लेते हैं।

चित्र को समझें (Read the diagram)

बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।

निर्देशांक समान पैमाने पर; बिंदुओं के मान चित्र के नीचे हैं।xy0AA(4, -2)BB(-10, 6)
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

मध्य बिंदु M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

x = (4 − 10)/2 = −3

चरण (Step) 2

y = (−2 + 6)/2 = 2

उत्तर (Answer)

मध्य बिंदु = (−3, 2)

ध्यान रखें (Remember)

मध्य बिंदु की दोनों सिरों से दूरी बराबर हो।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
A(−1, 3) और B(5, −1) का मध्य बिंदु (−1 + 5, 3 − 1) = (4, 2) ❌
जोड़ने के बाद 2 से भाग देना भूल गए — मध्य बिंदु औसत है, योग नहीं
((−1 + 5)/2, (3 − 1)/2) = (2, 1)

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

बिंदुओं A(-3, -6) और B(13, 10) के बीच के मध्य बिंदु (Midpoint) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

सवाल 3

बिंदुओं A(-2, -7) और B(8, -1) के बीच के मध्य बिंदु (Midpoint) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
अब खुद करके देखिए (Try it)कॉपी में लिखें — हल से मिलाएँ← पिछला विषय (Previous topic): प्रश्नावली 7.1अगला विषय (Next topic): मध्य बिंदु से दूसरा सिरा →