त्रिकोणमितीय सर्वसमिका सिद्ध करें

सिद्ध करना है (To prove)

।

प्रमाण में प्रयुक्त सर्वसमिकाएँ (Identities)

sin²θ+cos²θ=1, sec²θ−tan²θ=1 और cosec²θ−cot²θ=1। प्रमाण एक पक्ष से शुरू करके दूसरे पक्ष तक करें।

चरण (Step) 1 — एक पक्ष से शुरू करें

बाएँ पक्ष को (1 + cosθ)/(1 + cosθ) से गुणा करें। यह 1 है, इसलिए मान नहीं बदलता। न्यून कोण में हर शून्य नहीं है।

चरण (Step) 2 — अंश में वर्गों का अंतर लें

(1 − cosθ)(1 + cosθ) = 1 − cos²θ = sin²θ। हर sinθ(1 + cosθ) है।

चरण (Step) 3 — साझा गुणनखंड काटें

sin²θ/[sinθ(1 + cosθ)] = sinθ/(1 + cosθ), क्योंकि sinθ ≠ 0। यही दायाँ पक्ष है।

निष्कर्ष (Conclusion)

।

सिद्ध करना है (To prove)

: (secθ + tanθ)(secθ − tanθ) = 1।

प्रमाण में प्रयुक्त सर्वसमिकाएँ (Identities)

sin²θ+cos²θ=1, sec²θ−tan²θ=1 और cosec²θ−cot²θ=1। प्रमाण एक पक्ष से शुरू करके दूसरे पक्ष तक करें।

चरण (Step) 1 — पहचान चुनें

(u + v)(u − v) = u² − v²। यहाँ u = secθ और v = tanθ।

चरण (Step) 2 — त्रिकोणमितीय सर्वसमिका लगाएँ

बायाँ पक्ष = sec²θ − tan²θ। पहचान sec²θ = 1 + tan²θ रखें।

चरण (Step) 3 — सरल करें

1 + tan²θ − tan²θ = 1। दायाँ पक्ष मिल गया। cosθ शून्य होने पर मूल व्यंजक परिभाषित नहीं था।

निष्कर्ष (Conclusion)

: (secθ + tanθ)(secθ − tanθ) = 1।