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अवनमन कोण से दूरी ज्ञात करना (Distance from the Angle of Depression)

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आज क्या सीखेंगे

अवनमन कोण से दूरी ज्ञात करना — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
एक इमारत की छत से एक बच्चा नीचे ज़मीन पर रखी गेंद को देख रहा है। छत की ऊँचाई पता है, और देखने का कोण भी।
गेंद इमारत के पाद से कितनी दूर है — यही निकालना है।
🧠 समझिए (Understand)
अवनमन कोण (Angle of depression): ऊपर से नीचे की वस्तु को देखने पर, क्षैतिज रेखा और दृष्टि-रेखा के बीच का कोण।
यह कोण और वस्तु से बनने वाला उन्नयन कोण बराबर होते हैं — एकांतर कोणों (Alternate angles) के नियम से।
अवनमन कोण ऊपर की क्षैतिज रेखा से बनता है। समांतर क्षैतिजों के कारण नीचे का उन्नयन कोण उसके बराबर है।
θ
सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।
सूत्र (Formula)
tan(अवनमन कोण) = ऊँचाई / दूरी → दूरी = ऊँचाई / tan(कोण)
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. छत की ऊँचाई पहचानिए (यह सम्मुख भुजा है)।
  2. tan(अवनमन कोण) लिखिए, फिर दूरी के लिए हल कीजिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — 45° का अवनमन
छत से 8 मीटर ऊँचाई पर खड़े होकर, वस्तु का अवनमन कोण 45° है। दूरी?

दिया हुआ (Given)

छत से 8 मीटर ऊँचाई पर खड़े होकर, वस्तु का अवनमन कोण 45° है।

ज्ञात करना है (Find)

दूरी?

तरीका (Method)

अवनमन कोण ऊपर की क्षैतिज रेखा से बनता है। समांतर क्षैतिजों के कारण नीचे का उन्नयन कोण उसके बराबर है।

चित्र को समझें (Read the diagram)

सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।

θ
सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।

प्रयुक्त नियम (Rule)

ऊपर से अवनमन कोण नीचे के बिंदु से उन्नयन कोण के बराबर होता है। फिर tanθ = ऊँचाई/दूरी लगाएँ।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

tan 45° = 8 / दूरी, और tan 45° = 1

उत्तर (Answer)

दूरी = 8 मीटर

ध्यान रखें (Remember)

तिरछी दृष्टि-रेखा और जमीन की दूरी अलग हैं। माँगी दूरी पहचानकर अनुपात चुनें।

उदाहरण 2 (Example 2) — 30° का अवनमन
छत से 10 मीटर ऊँचाई पर खड़े होकर, वस्तु का अवनमन कोण 30° है। दूरी?

दिया हुआ (Given)

छत से 10 मीटर ऊँचाई पर खड़े होकर, वस्तु का अवनमन कोण 30° है।

ज्ञात करना है (Find)

दूरी?

तरीका (Method)

अवनमन कोण ऊपर की क्षैतिज रेखा से बनता है। समांतर क्षैतिजों के कारण नीचे का उन्नयन कोण उसके बराबर है।

चित्र को समझें (Read the diagram)

सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।

θ
सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।

प्रयुक्त नियम (Rule)

ऊपर से अवनमन कोण नीचे के बिंदु से उन्नयन कोण के बराबर होता है। फिर tanθ = ऊँचाई/दूरी लगाएँ।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

tan 30° = 10 / दूरी, और tan 30° = 1/√3

चरण (Step) 2

दूरी = 10 × √3 = 10√3 मीटर

उत्तर (Answer)

दूरी = 10√3 मीटर

ध्यान रखें (Remember)

तिरछी दृष्टि-रेखा और जमीन की दूरी अलग हैं। माँगी दूरी पहचानकर अनुपात चुनें।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
दूरी = ऊँचाई × tan(कोण) लिखना (भाग की जगह गुणा करना) ❌
tan = ऊँचाई/दूरी है, इसलिए दूरी = ऊँचाई / tan — उल्टा नहीं।
45° पर दूरी = 8 / tan 45° = 8 / 1 = 8 मीटर।

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

एक इमारत की छत से, 16 मीटर की ऊँचाई पर खड़े होकर, ज़मीन पर रखी एक वस्तु का अवनमन कोण (Angle of depression) 45° है। इमारत के पाद से वस्तु की दूरी ज्ञात कीजिए।

सवाल 3

एक इमारत की छत से, 10 मीटर की ऊँचाई पर खड़े होकर, ज़मीन पर रखी एक वस्तु का अवनमन कोण (Angle of depression) 45° है। इमारत के पाद से वस्तु की दूरी ज्ञात कीजिए।
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
अब खुद करके देखिए (Try it)कॉपी में लिखें — हल से मिलाएँ← पिछला विषय (Previous topic): दो उन्नयन कोणों से ऊँचाई ज्ञात करनाअगला विषय (Next topic): सीढ़ी या पतंग की ऊँचाई (ज्या से) →