ax² + bx + c = 0, जहाँ a ≠ 0 और a, b, c वास्तविक हैं।
वास्तविक मूलों (Roots) के लिए x = [−b ± √(b² − 4ac)]/(2a) सिद्ध करना है।
दोनों ओर समान पद जोड़कर पूर्ण वर्ग (Perfect square) बनाएँगे। फिर धन और ऋण दोनों वर्गमूल (Square root) लेकर x को अलग करेंगे।
ax² + bx + c = 0 को a से भाग देकर x² + (b/a)x = −c/a लिखते हैं। दोनों पक्षों में (b/2a)² जोड़कर पूर्ण वर्ग बनता है और वहीं से द्विघाती सूत्र प्राप्त होता है।
a ≠ 0 है, इसलिए ax² + bx + c = 0 को a से भाग दे सकते हैं: x² + (b/a)x = −c/a।
x के गुणांक का आधा b/(2a) है। दोनों ओर उसका वर्ग b²/(4a²) जोड़ें: [x + b/(2a)]² = (b² − 4ac)/(4a²)।
इसे [2ax + b]² = b² − 4ac भी लिख सकते हैं। D = b² − 4ac ≥ 0 हो तो 2ax + b = ±√D। दोनों चिह्न लेना जरूरी है।
2ax = −b ± √D। अतः x = [−b ± √(b² − 4ac)]/(2a)। पूरे अंश (Numerator) का 2a से भाग है।
D > 0 पर दो भिन्न वास्तविक मूल; D = 0 पर दो बराबर वास्तविक मूल; D < 0 पर वास्तविक मूल नहीं। इस प्रकार वास्तविक मूलों के लिए सूत्र सिद्ध हुआ।
D = b² − 4ac ≥ 0 होने पर x = [−b ± √D]/(2a)। D < 0 पर वास्तविक मूल नहीं हैं।