द्विघाती सूत्र की व्युत्पत्ति और मूल वाले गुणांक — नियम चुनें, पूरा हल लिखें और जाँचें।
ax² + bx + c = 0, जहाँ a ≠ 0 और a, b, c वास्तविक हैं।
वास्तविक मूलों के लिए x = [−b ± √(b² − 4ac)]/(2a) सिद्ध करना है।
दोनों ओर समान पद जोड़कर पूर्ण वर्ग बनाएँगे। फिर धन और ऋण दोनों वर्गमूल लेकर x को अलग करेंगे।
ax² + bx + c = 0 को a से भाग देकर x² + (b/a)x = −c/a लिखते हैं। दोनों पक्षों में (b/2a)² जोड़कर पूर्ण वर्ग बनता है और वहीं से द्विघाती सूत्र प्राप्त होता है।
a ≠ 0 है, इसलिए ax² + bx + c = 0 को a से भाग दे सकते हैं: x² + (b/a)x = −c/a।
x के गुणांक का आधा b/(2a) है। दोनों ओर उसका वर्ग b²/(4a²) जोड़ें: [x + b/(2a)]² = (b² − 4ac)/(4a²)।
इसे [2ax + b]² = b² − 4ac भी लिख सकते हैं। D = b² − 4ac ≥ 0 हो तो 2ax + b = ±√D। दोनों चिह्न लेना जरूरी है।
2ax = −b ± √D। अतः x = [−b ± √(b² − 4ac)]/(2a)। पूरे अंश का 2a से भाग है।
D > 0 पर दो भिन्न वास्तविक मूल; D = 0 पर दो बराबर वास्तविक मूल; D < 0 पर वास्तविक मूल नहीं। इस प्रकार वास्तविक मूलों के लिए सूत्र सिद्ध हुआ।
D = b² − 4ac ≥ 0 होने पर x = [−b ± √D]/(2a)। D < 0 पर वास्तविक मूल नहीं हैं।
समीकरण 2x² − 2√2x + 1 = 0 है।
द्विघात सूत्र से मूल निकालने हैं।
समीकरण को ax² + bx + c = 0 में लाकर x = [−b ± √(b² − 4ac)]/(2a) लगाएँगे। दोनों चिह्नों से मिलने वाले मान जाँचेंगे।
द्विघाती सूत्र (Quadratic formula): x = [−b ± √(b² − 4ac)]/(2a)। पहले a, b, c पहचानकर D = b² − 4ac निकालते हैं।
a = 2, b = −2√2, c = 1। D = (−2√2)² − 4 × 2 × 1 = 8 − 8 = 0।
x = [2√2 ± √0]/4 = √2/2। दोनों मूल इसी मान के हैं।
2(√2/2)² − 2√2(√2/2) + 1 = 1 − 2 + 1 = 0।
दोनों मूल √2/2 हैं।
पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।