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Sₙ से nवाँ पद (The nth Term from the Sum Sₙ)

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आज क्या सीखेंगे

Sₙ से पद ज्ञात करना — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
एक दुकानदार ने बताया कि पहले n दिनों में उसकी कुल बिक्री Sₙ का सूत्र है। उसे जानना है कि एक ख़ास दिन (k वें दिन) की बिक्री कितनी हुई।
कुल योग से एक दिन की बिक्री निकालने का तरीका है: आज तक का योग − कल तक का योग।
🧠 समझिए (Understand)
aₖ = Sₖ − Sₖ₋₁ — यह हर योग-सूत्र पर लागू होता है।
अगर Sₙ = An² + Bn + C, तो k ≥ 2 के लिए aₖ = A(2k − 1) + B; C अपने-आप रद्द हो जाता है।
पहले k पदों के योग में से पहले k − 1 पदों का योग हटाएँ तो केवल kth पद बचता है।
सूत्र (Formula)
aₖ = Sₖ − Sₖ₋₁
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. Sₖ और Sₖ₋₁ दोनों निकालिए।
  2. उनका अंतर लीजिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — Sₙ = n² + 2n + 1, 6वाँ पद
प्रथम n पदों का योग Sₙ = n² + 2n + 1 है। 6वाँ पद?

दिया हुआ (Given)

प्रथम n पदों का योग Sₙ = n² + 2n + 1 है।

ज्ञात करना है (Find)

6वाँ पद?

तरीका (Method)

पहले k पदों के योग में से पहले k − 1 पदों का योग हटाएँ तो केवल kth पद बचता है।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

यदि Sₙ प्रथम n पदों का योग हो, तो kवाँ पद a_k = S_k − S_(k−1)।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

S₆ = 36 + 12 + 1 = 49, S₅ = 25 + 10 + 1 = 36

चरण (Step) 2

a₆ = 49 − 36 = 13

उत्तर (Answer)

a₆ = 13

ध्यान रखें (Remember)

a₁ = S₁ है। k = 1 के लिए खाली योग S₀ = 0 लें।

उदाहरण 2 (Example 2) — Sₙ = 3n² + 4n, 10वाँ पद
प्रथम n पदों का योग Sₙ = 3n² + 4n है। 10वाँ पद?

दिया हुआ (Given)

प्रथम n पदों का योग Sₙ = 3n² + 4n है।

ज्ञात करना है (Find)

10वाँ पद?

तरीका (Method)

पहले k पदों के योग में से पहले k − 1 पदों का योग हटाएँ तो केवल kth पद बचता है।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

यदि Sₙ प्रथम n पदों का योग हो, तो kवाँ पद a_k = S_k − S_(k−1)।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

a₁₀ = A(2k − 1) + B = 3 × 19 + 4 = 61

उत्तर (Answer)

a₁₀ = 61

ध्यान रखें (Remember)

a₁ = S₁ है। k = 1 के लिए खाली योग S₀ = 0 लें।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
Sₙ = n² + 2n + 1 में n = 6 रखकर 49 को 6वाँ पद मान लेना ❌
49 छह पदों का योग है, अकेला 6वाँ पद नहीं
पद निकालने के लिए S₆ − S₅ लेना ज़रूरी है
a₆ = S₆ − S₅ = 49 − 36 = 13

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

एक समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग Sₙ = n² + 2 है। इसका 9वाँ पद ज्ञात कीजिए।

सवाल 3

एक समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग Sₙ = n² − 3n − 1 है। इसका 4वाँ पद ज्ञात कीजिए।
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
अब खुद करके देखिए (Try it)कॉपी में लिखें — हल से मिलाएँ← पिछला विषय (Previous topic): प्राकृत, विषम और क्रमागत संख्याओं का योगअगला विषय (Next topic): योग दिया हो तो पदों की संख्या →