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आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem)

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आज क्या सीखेंगे

BPT से भुजा ज्ञात करना — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
एक त्रिभुज ABC की कल्पना कीजिए। अब मान लीजिए, भुजा AB पर एक बिंदु D रखा और भुजा AC पर एक बिंदु E रखा — ऐसे कि DE रेखा ठीक BC के समांतर (Parallel) हो।
यह बिल्कुल वैसा है जैसे त्रिभुज के ऊपरी हिस्से को काटकर, एक छोटा मगर वैसा ही दिखने वाला त्रिभुज बना दिया हो — जैसे एक सीढ़ी का हर पायदान, दोनों खंभों को ज़मीन के समांतर काटता है।
सवाल: अगर D, भुजा AB को किसी अनुपात में बाँटता है, तो E, भुजा AC को किस अनुपात में बाँटेगा?
जवाब: बिल्कुल उसी अनुपात में! यही है आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT)।
ABCDE
🧠 समझिए (Understand)
AD और DB — भुजा AB के दो हिस्से, D से बँटे हुए।
AE और EC — भुजा AC के दो हिस्से, E से बँटे हुए।
DE, BC के समांतर होने पर: AD/DB = AE/EC
समांतर रेखा त्रिभुज की बाकी दो भुजाओं को समान अनुपात में बाँटती है। अनुपात में हिस्सों की सही जोड़ी जरूरी है।
सूत्र (Formula)
AD/DB = AE/EC
यह प्रमेय तभी लगती है जब DE, BC के ठीक समांतर हो — यह शर्त हमेशा सवाल में दी जाती है, मानकर मत चलिए।
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. किस भुजा पर कौन-सा बिंदु है, पहचानिए — D, AB पर और E, AC पर।
  2. AD/DB = AE/EC लिखिए।
  3. जो तीन मान पता हैं, उन्हें रखिए, और गुणा-भाग से चौथा निकालिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — पहला हिसाब
AD = 4 cm, DB = 6 cm, AE = 6 cm है। EC ज्ञात कीजिए।

दिया हुआ (Given)

AD = 4 cm, DB = 6 cm, AE = 6 cm है।

ज्ञात करना है (Find)

EC ज्ञात कीजिए।

तरीका (Method)

समांतर रेखा त्रिभुज की बाकी दो भुजाओं को समान अनुपात में बाँटती है। अनुपात में हिस्सों की सही जोड़ी जरूरी है।

चित्र को समझें (Read the diagram)

DE ∥ BC। AD और DB बाईं भुजा के हिस्से; AE और EC दाईं भुजा के हिस्से हैं।

ABCDE4.06.06.0?
DE ∥ BC। AD और DB बाईं भुजा के हिस्से; AE और EC दाईं भुजा के हिस्से हैं।

प्रयुक्त प्रमेय (Theorem)

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT): यदि DE ∥ BC हो, तो AD/DB = AE/EC। अनुपात में संगत भाग सही क्रम में रखें।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

AD/DB = AE/EC से: 4/6 = 6/EC

चरण (Step) 2

EC = 6 × 6 / 4 = 9

उत्तर (Answer)

EC = 9 cm

ध्यान रखें (Remember)

D और E किन भुजाओं पर हैं और DE ∥ BC है, यह लिखें। AD/DB को AD/AB से न मिलाएँ।

उदाहरण 2 (Example 2) — बोर्ड वाला सवाल
AD = 15 cm, DB = 10 cm, AE = 18 cm है। EC ज्ञात कीजिए।

दिया हुआ (Given)

AD = 15 cm, DB = 10 cm, AE = 18 cm है।

ज्ञात करना है (Find)

EC ज्ञात कीजिए।

तरीका (Method)

समांतर रेखा त्रिभुज की बाकी दो भुजाओं को समान अनुपात में बाँटती है। अनुपात में हिस्सों की सही जोड़ी जरूरी है।

चित्र को समझें (Read the diagram)

DE ∥ BC। AD और DB बाईं भुजा के हिस्से; AE और EC दाईं भुजा के हिस्से हैं।

ABCDE15.010.018.0?
DE ∥ BC। AD और DB बाईं भुजा के हिस्से; AE और EC दाईं भुजा के हिस्से हैं।

प्रयुक्त प्रमेय (Theorem)

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT): यदि DE ∥ BC हो, तो AD/DB = AE/EC। अनुपात में संगत भाग सही क्रम में रखें।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

AD/DB = AE/EC से: 15/10 = 18/EC

चरण (Step) 2

EC = 18 × 10 / 15 = 12

उत्तर (Answer)

EC = 12 cm

ध्यान रखें (Remember)

D और E किन भुजाओं पर हैं और DE ∥ BC है, यह लिखें। AD/DB को AD/AB से न मिलाएँ।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
AD/DB = EC/AE से: 4/6 = EC/6, इसलिए EC = 4 ❌
यह समीकरण ही ग़लत है — AE और EC का क्रम उल्टा रख दिया गया
सही रूप में AE ऊपर और EC नीचे होता है, ठीक वैसे जैसे AD ऊपर और DB नीचे है
सही समीकरण: AD/DB = AE/EC
4/6 = 6/EC से: EC = 6 × 6 / 4 = 9

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

त्रिभुज ABC में, D भुजा AB पर और E भुजा AC पर इस प्रकार हैं कि DE || BC है। यदि AD = 10 cm, DB = 2 cm, और AE = 10 cm है, तो EC ज्ञात कीजिए।

सवाल 3

त्रिभुज ABC में, D भुजा AB पर और E भुजा AC पर इस प्रकार हैं कि DE || BC है। यदि AD = 6 cm, DB = 4 cm, और AE = 3 cm है, तो EC ज्ञात कीजिए।
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
अब खुद करके देखिए (Try it)कॉपी में लिखें — हल से मिलाएँइस विषय के बोर्ड प्रश्न — 2 सवाल, पूरे हल के साथअगला विषय (Next topic): प्रमेय क्यों सही हैं? — प्रमाण →