हर बराबरी का कारण देकर माँगा हुआ निष्कर्ष लिखें।
त्रिभुज की एक भुजा के समांतर रेखा बाकी दो भुजाओं को समान अनुपात में बाँटती है।
ΔABC में D, AB पर और E, AC पर हैं; DE ∥ BC।
AD/DB = AE/EC।
BE और CD जोड़ें। नीचे ar का अर्थ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
BPT में समान ऊँचाई वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनके आधारों के अनुपात के बराबर होता है। पाइथागोरस के प्रमाण में समरूप त्रिभुजों से संगत भुजाओं के अनुपात लेते हैं।
ADE और BDE की ऊँचाई E से AB तक समान है। क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई, इसलिए ar(ADE)/ar(BDE) = AD/DB।
ADE और CDE की ऊँचाई D से AC तक समान है। इसलिए ar(ADE)/ar(CDE) = AE/EC।
BDE और CDE का साझा आधार DE है। B और C, DE के समांतर BC पर हैं। दो समांतर रेखाओं की दूरी समान होती है, इसलिए इनकी ऊँचाइयाँ और क्षेत्रफल बराबर हैं।
दोनों अनुपातों में एक ही अंश ar(ADE) और बराबर हर हैं। अतः AD/DB = AE/EC। प्रमेय सिद्ध हुआ।
किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग बाकी दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। कर्ण समकोण के सामने वाली भुजा है।
ΔABC में ∠A = 90° है। समकोण के सामने वाली भुजा BC कर्ण है।
AB² + AC² = BC²।
A से BC पर लंब AD खींचें। D, B और C के बीच है। इससे बड़ा त्रिभुज दो छोटे समकोण त्रिभुजों ABD और ACD में बँटता है।
दोनों छोटे त्रिभुजों को बड़े त्रिभुज से समरूप दिखाएँगे। इससे AB² और AC² को कर्ण के हिस्सों से जोड़ने वाले दो संबंध मिलेंगे; अंत में उन्हें जोड़ेंगे।
ΔABD और बड़े ΔCBA में ∠ADB = ∠CAB = 90°। ∠ABD = ∠CBA भी है, क्योंकि BD और BC एक ही दिशा में हैं। दो कोण बराबर होने से AA कसौटी द्वारा ΔABD ∼ ΔCBA। संगत भुजाएँ AB ↔ CB और BD ↔ BA हैं।
इसलिए AB/CB = BD/BA। दोनों ओर CB × BA से गुणा करें: AB² = BC × BD।
ΔACD और बड़े ΔBCA में ∠ADC = ∠BAC = 90° तथा ∠ACD = ∠BCA। यहाँ CD और CB एक ही दिशा में हैं। इसलिए AA से ΔACD ∼ ΔBCA।
संगत भुजाओं से AC/BC = CD/CA। दोनों ओर BC × CA से गुणा करें: AC² = BC × CD।
AB² + AC² = BC × BD + BC × CD।
दोनों पदों में BC साझा है: AB² + AC² = BC × (BD + CD)। चित्र में BD और DC मिलकर पूरी भुजा BC बनाते हैं। इसलिए BD + CD = BC।
AB² + AC² = BC²। अतः पाइथागोरस प्रमेय सिद्ध हुआ।
पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।