उत्तर समझें — चरण दर चरण

दिया हुआ (Given)

S, PQ पर और T, PR पर हैं। PS/SQ = PT/TR तथा ∠PST = ∠PRQ।

सिद्ध करना है (To prove)

ΔPQR समद्विबाहु है।

चित्र से समझें (Diagram)

S, PQ पर और T, PR पर हैं। ST जोड़ें। शुरू में ST ∥ QR मानना नहीं है; दिए अनुपात (Ratio) से इसे साबित करेंगे। चित्र में समांतरता आगे के निष्कर्ष को दिखाती है।

प्रमाण का तरीका (Proof plan)

दिए अनुपात से पहले BPT के विलोम द्वारा समांतरता निकालेंगे। फिर बराबर कोणों के सामने की भुजाएँ मिलाएँगे।

चरण (Step) 1 — BPT का विलोम लगाएँ

PS/SQ = PT/TR से ST ∥ QR। S और T क्रमशः PQ और PR पर हैं।

चरण (Step) 2 — कोण बदलें

ST ∥ QR से ∠PST = ∠PQR। प्रश्न में ∠PST = ∠PRQ भी दिया है। अतः ∠PQR = ∠PRQ।

चरण (Step) 3 — भुजाओं का निष्कर्ष

त्रिभुज में बराबर कोणों के सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए PR = PQ और ΔPQR समद्विबाहु है।

निष्कर्ष (Conclusion)

∠PQR = ∠PRQ से PR = PQ। अतः ΔPQR समद्विबाहु है।

प्रयुक्त प्रमेय (Theorem)

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT): यदि DE ∥ BC हो, तो AD/DB = AE/EC। अनुपात में संगत भाग सही क्रम में रखें।