अभ्यास — प्रश्नावली 6.2 (Exercise 6.2)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

1. किसी ΔPQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। बताइए कि क्या EF || QR है — PE=3.9 cm, EQ=3 cm, PF=3.6 cm, FR=2.4 cm
   (A) हाँ, EF || QR है

   (B) नहीं, EF समांतर नहीं है
   उत्तर देखें (See answer)

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   E, PQ पर और F, PR पर हैं। पहले PE/EQ और PF/FR मिलाएँ; समांतर होना पहले से नहीं माना है।

   प्रयुक्त प्रमेय (Theorem)

   आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT): यदि DE ∥ BC हो, तो AD/DB = AE/EC। अनुपात में संगत भाग सही क्रम में रखें।

   चरण (Step) 1 — दोनों भुजाओं के हिस्सों का अनुपात

   PQ पर PE/EQ=3.9/3=1.3। PR पर PF/FR=3.6/2.4=1.5। ये अनुपात बराबर नहीं हैं।

   चरण (Step) 2 — समांतर होने की शर्त समझें

   यदि EF, QR के समांतर होता, तो आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) के अनुसार PE/EQ=PF/FR होता। यहाँ 1.3≠1.5, इसलिए EF, QR के समांतर नहीं है।

   उत्तर (Answer)

   नहीं, EF समांतर नहीं है

2. किसी ΔPQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। बताइए कि क्या EF || QR है — PE=4 cm, QE=4.5 cm, PF=8 cm, RF=9 cm
   (A) हाँ, EF || QR है

   (B) नहीं, EF समांतर नहीं है
   उत्तर देखें (See answer)

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   E, PQ पर और F, PR पर हैं। पहले PE/EQ और PF/FR मिलाएँ; समांतर होना पहले से नहीं माना है।

   प्रयुक्त प्रमेय (Theorem)

   आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT): यदि DE ∥ BC हो, तो AD/DB = AE/EC। अनुपात में संगत भाग सही क्रम में रखें।

   चरण (Step) 1 — दोनों अनुपात निकालें

   PE/EQ=4/4.5=8/9 और PF/FR=8/9। दोनों भुजाएँ समान अनुपात में बँटी हैं।

   चरण (Step) 2 — विलोम नियम लगाएँ

   आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम (Converse of BPT) के अनुसार दो भुजाओं को समान अनुपात में बाँटने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। इसलिए EF || QR।

   उत्तर (Answer)

   हाँ, EF || QR है

3. किसी ΔPQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। बताइए कि क्या EF || QR है — PQ=1.28 cm, PR=2.56 cm, PE=0.18 cm, PF=0.36 cm
   (A) हाँ, EF || QR है

   (B) नहीं, EF समांतर नहीं है
   उत्तर देखें (See answer)

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   E, PQ पर और F, PR पर हैं। पहले PE/EQ और PF/FR मिलाएँ; समांतर होना पहले से नहीं माना है।

   प्रयुक्त नियम (Rule)

   यदि ΔABC ~ ΔDEF, तो संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं: AB/DE = BC/EF = CA/FD। पहले संगत शीर्ष पहचानें।

   चरण (Step) 1 — EQ और FR निकालें

   EQ = 1.28−0.18 = 1.1, FR = 2.56−0.36 = 2.2।

   चरण (Step) 2 — अनुपात और उत्तर

   PE/EQ = 0.18/1.1 = 9/55, PF/FR = 0.36/2.2 = 9/55 — बराबर। EF || QR है।

   उत्तर (Answer)

   हाँ, EF || QR है

4. यदि त्रिभुज के किसी कोण का समद्विभाजक (Bisector) अपने सामने की भुजा को समद्विभाजित (Bisect) करता है तो त्रिभुज हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) विषमबाहु त्रिभुज (Scalene triangle)

   (B) समबाहु त्रिभुज (Equilateral triangle)

   (C) समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles triangle)

   (D) समकोण त्रिभुज (Right-angled triangle)
   उत्तर देखें (See answer)
5. किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बनी आकृति कहलाती हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) समान्तर चतुर्भुज (Parallelogram)

   (B) आयत

   (C) वर्ग

   (D) समचतुर्भुज (Rhombus)
   उत्तर देखें (See answer)
6. ΔMNO में P, Q क्रमशः भुजाएँ MN और MO पर दो बिन्दु हैं तथा PQ||NO. यदि MP : PN = 3 : 5 तो MQ : QO का मान हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 5 : 3

   (B) 1 : 3

   (C) 5 : 1

   (D) 3 : 5
   उत्तर देखें (See answer)
7. यदि त्रिभुज ABC में AD, ∠BAC का अर्द्धक है तथा AB=10 सेमी, AC=14 सेमी, BC=6 सेमी तो DC का मान हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
   (A) 2.5 सेमी

   (B) 3.5 सेमी

   (C) 4.5 सेमी

   (D) 4 सेमी
   उत्तर देखें (See answer)
8. त्रिभुज ABC में DE || BC इस प्रकार है कि AD/DB=3/5. यदि AC=5.6 सेमी तो AE=?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
   (A) 4.2 सेमी

   (B) 3.1 सेमी

   (C) 2.8 सेमी

   (D) 2.1 सेमी
   उत्तर देखें (See answer)
9. ΔABC में X, Y क्रमशः भुजाएँ AB और AC पर दो बिन्दु हैं तथा XY || BC । यदि AX: XB = 2:3, तो AY: YC का मान होगाबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
   (A) 3:2

   (B) 2:3

   (C) 1:3

   (D) 3:1
   उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. आकृति में, DE || BC है। AD = 1.5 cm, AE = 1 cm, DB = 3 cm है। EC ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   आकृति में, DE || BC है। AD = 1.5 cm, AE = 1 cm, DB = 3 cm है।

   ज्ञात करना है (Find)

   EC ज्ञात कीजिए।

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   D, AB पर और E, AC पर हैं। DE ∥ BC हो तो AD/DB = AE/EC; ऊपर के हिस्से ऊपर और नीचे के हिस्से नीचे रखें।

   प्रयुक्त प्रमेय (Theorem)

   आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT): यदि DE ∥ BC हो, तो AD/DB = AE/EC। अनुपात में संगत भाग सही क्रम में रखें।

   चरण (Step) 1 — आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) लगाएँ

   AD/DB = AE/EC से 1.5/3 = 1/EC।

   चरण (Step) 2 — EC निकालें

   EC = 1×3/1.5 = 2 cm।

   उत्तर (Answer)

   2 cm

2. आकृति में, DE || BC है। BD = 7.2 cm, AE = 1.8 cm, EC = 5.4 cm है। AD ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   आकृति में, DE || BC है। BD = 7.2 cm, AE = 1.8 cm, EC = 5.4 cm है।

   ज्ञात करना है (Find)

   AD ज्ञात कीजिए।

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   D, AB पर और E, AC पर हैं। DE ∥ BC हो तो AD/DB = AE/EC; ऊपर के हिस्से ऊपर और नीचे के हिस्से नीचे रखें।

   प्रयुक्त प्रमेय (Theorem)

   आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT): यदि DE ∥ BC हो, तो AD/DB = AE/EC। अनुपात में संगत भाग सही क्रम में रखें।

   चरण (Step) 1 — आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) लगाएँ

   AD/DB = AE/EC से AD/7.2 = 1.8/5.4।

   चरण (Step) 2 — AD निकालें

   AD = 7.2×1.8/5.4 = 2.4 cm।

   उत्तर (Answer)

   2.4 cm

3. त्रिभुज ABC की भुजाओं AB तथा AC पर क्रमशः D तथा E बिन्दुएँ इस प्रकार हैं कि DE||BC. यदि AD = 3.6 सेमी, AB = 10 सेमी तथा AE = 4.5 सेमी तो EC तथा AC का मान निकालें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
4. ΔABC में PQ||BC, AP = 2 सेमी, PB = 6 सेमी, AQ = 4 सेमी, तो AC का मान ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
5. किसी त्रिभुज PQR में दो बिन्दु S और T भुजाओं PQ तथा PR पर क्रमशः इस प्रकार हैं कि PS/SQ = PT/TR तथा ∠PST = ∠PRQ, तो सिद्ध करें कि ΔPQR एक समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles triangle) है।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer — 5 अंक प्रत्येक)

1. प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   ΔABC में D, AB का मध्यबिंदु है। D से BC के समांतर रेखा AC को E पर काटती है।

   सिद्ध करना है (To prove)

   AE = EC, अर्थात E भी मध्यबिंदु है।

   प्रयुक्त प्रमेय (Theorem)

   आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT): यदि DE ∥ BC हो, तो AD/DB = AE/EC। अनुपात में संगत भाग सही क्रम में रखें।

   चरण (Step) 1 — मध्यबिंदु का अर्थ

   AD = DB, इसलिए AD/DB = 1।

   चरण (Step) 2 — BPT लगाएँ

   DE ∥ BC से AD/DB = AE/EC। बाईं ओर 1 रखने पर AE/EC = 1।

   निष्कर्ष (Conclusion)

   AE = EC। अतः समांतर रेखा तीसरी भुजा को भी दो बराबर भागों में बाँटती है।

2. ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि AO/BO = CO/DO है।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   समलंब ABCD में AB ∥ DC; AC और BD का मिलन O है।

   सिद्ध करना है (To prove)

   AO/BO = CO/DO।

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   O पर दोनों विकर्ण मिलते हैं। A, O, C एक रेखा पर और B, O, D दूसरी रेखा पर हैं।

   प्रयुक्त नियम (Rule)

   समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।

   चरण (Step) 1 — बराबर कोण

   ∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)। AB ∥ DC से ∠ABO = ∠CDO (एकांतर अंतः कोण)।

   चरण (Step) 2 — समरूपता और अनुपात

   AA से ΔAOB ∼ ΔCOD। संगत क्रम A ↔ C, B ↔ D, O ↔ O है। इसलिए AO/CO = BO/DO।

   चरण (Step) 3 — पूछा गया रूप

   क्रॉस गुणा करने पर AO × DO = BO × CO। BO × DO से भाग देने पर AO/BO = CO/DO।

   निष्कर्ष (Conclusion)

   अतः AO/BO = CO/DO सिद्ध हुआ।

3. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO/BO = CO/DO है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD, O पर मिलते हैं; AO/BO = CO/DO।

   सिद्ध करना है (To prove)

   AB ∥ DC, अर्थात ABCD समलंब है।

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   O पर दोनों विकर्ण मिलते हैं। A, O, C एक रेखा पर और B, O, D दूसरी रेखा पर हैं।

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   संगत भुजाओं का अनुपात = √(क्षेत्रफलों का अनुपात)। वर्गमूल लेते समय लंबाई के लिए धनात्मक मान लें।

   चरण (Step) 1 — संगत भुजाओं का अनुपात

   दिए अनुपात से AO × DO = BO × CO। CO × DO से भाग देने पर AO/CO = BO/DO।

   चरण (Step) 2 — बीच का कोण मिलाएँ

   ∠AOB = ∠COD, क्योंकि ये शीर्षाभिमुख कोण हैं। इन कोणों से लगी दो-दो भुजाएँ समान अनुपात में हैं। इसलिए SAS से ΔAOB ∼ ΔCOD।

   चरण (Step) 3 — समांतरता का कारण

   समरूपता से ∠ABO = ∠CDO। ये तिर्यक रेखा BD के एकांतर अंतः कोण हैं। इनके बराबर होने से AB ∥ DC।

   निष्कर्ष (Conclusion)

   ABCD में विपरीत भुजाओं का एक युग्म समांतर है; अतः ABCD समलंब है।