📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)एक नक्शे में एक त्रिभुजाकार खेत बना है। असली खेत का आकार वैसा ही है, बस हर भुजा नक्शे से कई गुना बड़ी है।
नक्शे की एक भुजा और असली खेत की एक भुजा पता है — बाकी भुजाएँ कितनी लंबी होंगी?
🧠 समझिए (Understand)समरूप त्रिभुजों (Similar triangles) की संगत भुजाएँ हमेशा एक ही अनुपात में होती हैं।
ΔABC ~ ΔDEF में A↔D, B↔E, C↔F — इसलिए AB/DE = BC/EF = CA/FD।
समरूपता के नाम का क्रम बताता है कि कौन-सा शीर्ष किससे मिलता है। फिर संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है।
AA: दो संगत कोण बराबर हों। SSS: तीनों संगत भुजाओं के अनुपात बराबर हों। SAS: दो संगत भुजाओं का अनुपात और उनके बीच का कोण बराबर हो।
केवल तीन कोण बराबर होने से आकार समान होता है, माप बराबर जरूरी नहीं। बराबर माप वाले सर्वांगसम त्रिभुज समरूपता का विशेष मामला हैं।
उदाहरण 1 (Example 1) — AB = 6, DE = 4, BC = 9ΔABC ~ ΔDEF है, AB = 6, DE = 4, BC = 9 cm। EF ज्ञात कीजिए।
दिया हुआ (Given)
ΔABC ~ ΔDEF है, AB = 6, DE = 4, BC = 9 cm।
ज्ञात करना है (Find)
EF ज्ञात कीजिए।
तरीका (Method)
समरूपता के नाम का क्रम बताता है कि कौन-सा शीर्ष किससे मिलता है। फिर संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है।
चित्र को समझें (Read the diagram)
सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।
सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।प्रयुक्त नियम (Rule)
यदि ΔABC ~ ΔDEF, तो संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं: AB/DE = BC/EF = CA/FD। पहले संगत शीर्ष पहचानें।
चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें
AB/DE = BC/EF से: 6/4 = 9/EF
चरण (Step) 2
EF = 9 × 4 / 6 = 6 cm
ध्यान रखें (Remember)
हर भिन्न में पहले त्रिभुज की भुजा ऊपर या नीचे एक समान क्रम में रखें।
उदाहरण 2 (Example 2) — बड़ा पैमानाΔABC ~ ΔDEF है, AB = 12, DE = 18, BC = 6 cm। EF ज्ञात कीजिए।
दिया हुआ (Given)
ΔABC ~ ΔDEF है, AB = 12, DE = 18, BC = 6 cm।
ज्ञात करना है (Find)
EF ज्ञात कीजिए।
तरीका (Method)
समरूपता के नाम का क्रम बताता है कि कौन-सा शीर्ष किससे मिलता है। फिर संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है।
चित्र को समझें (Read the diagram)
सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।
सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।प्रयुक्त नियम (Rule)
यदि ΔABC ~ ΔDEF, तो संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं: AB/DE = BC/EF = CA/FD। पहले संगत शीर्ष पहचानें।
चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें
12/18 = 6/EF, इसलिए EF = 6 × 18 / 12 = 9 cm
ध्यान रखें (Remember)
हर भिन्न में पहले त्रिभुज की भुजा ऊपर या नीचे एक समान क्रम में रखें।
⚠️ आम ग़लती (Common mistake)ΔABC ~ ΔDEF में EF = AB × BC / DE = 6 × 9 / 4 = 13.5 cm ❌
अनुपात सीधा नहीं, बल्कि 'अंश–अंश' और 'हर–हर' के क्रम में लगता है: AB/DE = BC/EF
EF = BC × DE / AB = 9 × 4 / 6 = 6 cm