उत्तर समझें — चरण दर चरण

मूल प्रश्न की सीमा (Source note)

दिए प्रश्न में AB और BC को PQ और PR से मिलाया गया है। माध्यिकाओं AD और PM के साथ यह संगत (Corresponding) क्रम सही नहीं है; इस कथन से माँगा गया निष्कर्ष सामान्यतः नहीं निकलता। नीचे अलग से सुधारा हुआ अभ्यास हल किया गया है: AB/PQ = AC/PR = AD/PM।

सुधारा हुआ अभ्यास (Corrected exercise)

AB/PQ = AC/PR = AD/PM लें; AD और PM माध्यिकाएँ हैं। इस सुधारे हुए कथन के लिए ΔABC ∼ ΔPQR सिद्ध करना है।

रचना और चित्र (Construction)

D और M क्रमशः BC और QR के मध्यबिंदु (Midpoint) हैं। AD को E तक ऐसे बढ़ाएँ कि DE = AD। PM को N तक ऐसे बढ़ाएँ कि MN = PM। अब CE और RN जोड़ें। तब AE = 2AD और PN = 2PM।

चरण (Step) 1 — बराबर भुजाएँ पाएँ

ΔADB और ΔEDC में AD = DE, BD = DC और शीर्षाभिमुख कोण ∠ADB = ∠EDC हैं। SAS सर्वांगसमता से AB = EC। इसी तरह ΔPMQ और ΔNMR से PQ = NR।

चरण (Step) 2 — पहली समरूपता (Similarity)

दिए तीन अनुपातों को k कहें। AC/PR = k, AE/PN = 2AD/(2PM) = k और CE/RN = AB/PQ = k। इसलिए SSS से ΔACE ∼ ΔPRN। इससे ∠CAE = ∠RPN।

चरण (Step) 3 — छोटे त्रिभुज मिलाएँ

D, AE पर और M, PN पर हैं, इसलिए ∠CAD = ∠RPM। साथ में AC/PR = AD/PM है। SAS समरूपता से ΔACD ∼ ΔPRM। इसलिए CD/RM = k।

चरण (Step) 4 — पूरे त्रिभुजों का निष्कर्ष

BC = 2CD और QR = 2RM, इसलिए BC/QR = k। अब AB/PQ = AC/PR = BC/QR। SSS से ΔABC ∼ ΔPQR। यह निष्कर्ष ऊपर स्पष्ट किए गए सुधारे हुए कथन के लिए है।

निष्कर्ष (Conclusion)

सुधारे हुए कथन AB/PQ = AC/PR = AD/PM के अंतर्गत ΔABC ∼ ΔPQR सिद्ध है।

प्रयुक्त नियम (Rule)

समरूप त्रिभुजों की संगत माध्यिकाओं का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।