अभ्यास — प्रश्नावली 6.3 (Exercise 6.3)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective — 1 अंक प्रत्येक)

1. आकृति में दो त्रिभुज ABC और PQR, जिनमें ∠A=∠P=60°, ∠B=∠Q=80°, ∠C=∠R=40° हैं, दिए गए हैं। क्या ये त्रिभुज समरूप हैं? किस कसौटी से?
   (A) हाँ, AAA कसौटी से समरूप

   (B) नहीं, समरूप नहीं
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   आकृति में दो त्रिभुज ABC और PQR, जिनमें ∠A=∠P=60°, ∠B=∠Q=80°, ∠C=∠R=40° हैं, दिए गए हैं। क्या ये त्रिभुज समरूप हैं?

   ज्ञात करना है (Find)

   किस कसौटी से?

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   आकृतियों में शीर्षों के नाम पढ़ें। संगत भुजाएँ प्रश्न में दी लंबाइयों या बराबर कोणों से तय करें।

   प्रयुक्त नियम (Rule)

   समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।

   चरण (Step) 1 — कोण मिलाएँ

   तीनों संगत कोण बराबर हैं: ∠A=∠P, ∠B=∠Q, ∠C=∠R।

   उत्तर (Answer)

   AAA (या केवल दो कोणों से भी AA) समरूपता कसौटी से ΔABC ~ ΔPQR।

2. आकृति में ΔABC और ΔPQR दिए हैं, जिनमें AB=2, BC=2.5, CA=3 तथा PQ=6, QR=4, RP=5 हैं। क्या ये त्रिभुज समरूप हैं?
   (A) हाँ, SSS कसौटी से समरूप

   (B) नहीं, समरूप नहीं
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   आकृति में ΔABC और ΔPQR दिए हैं, जिनमें AB=2, BC=2.5, CA=3 तथा PQ=6, QR=4, RP=5 हैं।

   ज्ञात करना है (Find)

   क्या ये त्रिभुज समरूप हैं?

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   आकृतियों में शीर्षों के नाम पढ़ें। संगत भुजाएँ प्रश्न में दी लंबाइयों या बराबर कोणों से तय करें।

   प्रयुक्त नियम (Rule)

   समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।

   चरण (Step) 1 — भुजाओं को छोटे-से-बड़े क्रम में रखें

   ABC: AB=2, BC=2.5, CA=3। PQR: QR=4, RP=5, PQ=6।

   चरण (Step) 2 — अनुपात मिलाएँ

   AB/QR=2/4=1/2, BC/RP=2.5/5=1/2, CA/PQ=3/6=1/2 — तीनों बराबर।

   उत्तर (Answer)

   SSS समरूपता कसौटी से ΔABC ~ ΔQRP (A↔Q, B↔R, C↔P)।

3. आकृति में ΔLMP और ΔDEF दिए हैं, जिनमें LM=2.7, MP=2, PL=3 तथा DE=4, EF=5, FD=6 हैं। क्या ये त्रिभुज समरूप हैं?
   (A) हाँ, समरूप हैं

   (B) नहीं, समरूप नहीं हैं
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   ΔLMP की भुजाएँ 2, 2.7, 3 और ΔDEF की भुजाएँ 4, 5, 6 हैं।

   ज्ञात करना है (Find)

   क्या तीनों संगत भुजाओं का अनुपात समान है?

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   आकृतियों में शीर्षों के नाम पढ़ें। संगत भुजाएँ प्रश्न में दी लंबाइयों या बराबर कोणों से तय करें।

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   संगत भुजाओं का अनुपात = √(क्षेत्रफलों का अनुपात)। वर्गमूल लेते समय लंबाई के लिए धनात्मक मान लें।

   चरण (Step) 1 — सही जोड़ियाँ

   छोटी: MP ↔ DE; बीच वाली: LM ↔ EF; बड़ी: PL ↔ FD।

   चरण (Step) 2 — अनुपात

   MP/DE = 2/4 = 0.5; LM/EF = 2.7/5 = 0.54; PL/FD = 3/6 = 0.5।

   उत्तर (Answer)

   तीनों अनुपात बराबर नहीं हैं। इसलिए त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

4. समान भुजाओं वाले दो बहुभुज समरूप (Similar) हैं तो उनकी संगत भुजाओं (Corresponding sides) में सम्बन्ध हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) बराबर

   (B) समानुपाती

   (C) व्युत्क्रमानुपाती

   (D) इनमें से कोई नहीं
   उत्तर देखें (See answer)
5. यदि △ABC ~ △DEF तथा AB/DE = 3/5 तो FD/CA =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 9 : 25

   (B) 25 : 9

   (C) 3 : 5

   (D) 5 : 3
   उत्तर देखें (See answer)
6. △ABC ~ △PQR तथा उनकी परिमिति (Perimeter) क्रमशः 32 सेमी तथा 24 सेमी हैं। यदि AB = 10 सेमी तो PQ =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 7 सेमी

   (B) 40/3 सेमी

   (C) 15/2 सेमी

   (D) 15 सेमी
   उत्तर देखें (See answer)
7. ΔXYZ में भुजा YZ को बिन्दु T तक बढ़ाया गया जिससे ∠XZT = 110° तथा ∠XYZ = 40° हों, तो ∠YXZ का मान हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 50°

   (B) 60°

   (C) 70°

   (D) 110°
   उत्तर देखें (See answer)
8. यदि ΔABC ~ ΔLMN में ∠A = 87°, ∠M = 35° तो ∠C =बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 38°

   (B) 48°

   (C) 58°

   (D) 68°
   उत्तर देखें (See answer)
9. दो समरूप त्रिभुजों (Similar triangles) के परिमाप क्रमशः 60 सेमी और 40 सेमी हैं। यदि पहले त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई 12 सेमी हो, तो दूसरे त्रिभुज की संगत (Corresponding) भुजा की लम्बाई हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026
   (A) 12 सेमी

   (B) 8 सेमी

   (C) 4 सेमी

   (D) 10 सेमी
   उत्तर देखें (See answer)
10. ΔDEF तथा ΔPQR में दिया है कि ∠D = ∠Q तथा ∠R = ∠E, तो निम्नलिखित में कौन-सा सही है ?बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) ∠F = ∠P

    (B) ∠F = ∠Q

    (C) ∠D = ∠P

    (D) ∠E = ∠P
    उत्तर देखें (See answer)
11. ΔABC एवं ΔDEF इस प्रकार हैं कि AB/DE = BC/EF = CA/DF एवं ∠A = 40°, ∠B = 80° तो ∠F की माप हैबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025
    (A) 30°

    (B) 45°

    (C) 60°

    (D) 40°
    उत्तर देखें (See answer)
12. यदि दो समरूप त्रिभुजों (Similar triangles) की संगत भुजाओं (Corresponding sides) का अनुपात (Ratio) 5:6 हो तो उनके परिमापों का अनुपात होगाबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2024
    (A) 25:36

    (B) 5:6

    (C) 36:25

    (D) 15:16
    उत्तर देखें (See answer)
13. दो समरूप त्रिभुजों (Similar triangles) के परिमाप क्रमश: 30 cm और 20 cm हैं। यदि पहले त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई 18 cm हो, तो दूसरी त्रिभुज की संगत (Corresponding) भुजा की लंबाई होगीबोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2023
    (A) 10 cm

    (B) 8 cm

    (C) 9 cm

    (D) 12 cm
    उत्तर देखें (See answer)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. आकृति में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° है। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए। (D, O, B एक रेखा पर तथा C, O, A एक रेखा पर हैं।)
   उत्तर देखें (See answer)

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   D–O–B और C–O–A सीधी रेखाएँ हैं। ∠BOC के साथ ∠DOC का योग 180° है; चित्र मापानुसार नहीं है।

   प्रयुक्त नियम (Rule)

   समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।

   चरण (Step) 1 — ∠DOC निकालें

   D, O, B एक सरल रेखा पर हैं, इसलिए ∠DOC = 180° − ∠BOC = 180° − 125° = 55°।

   चरण (Step) 2 — ΔDOC में ∠DCO निकालें

   कोण योग से ∠DCO = 180° − ∠CDO − ∠DOC = 180° − 70° − 55° = 55°।

   चरण (Step) 3 — ∠OAB निकालें

   ΔODC ~ ΔOBA के संगत कोण ∠DCO = ∠OAB, इसलिए ∠OAB = 55°।

   उत्तर (Answer)

   ∠DOC=55°, ∠DCO=55°, ∠OAB=55°

2. लंबाई 6 m वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   लंबाई 6 m वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है।

   ज्ञात करना है (Find)

   मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

   प्रयुक्त नियम (Rule)

   समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।

   चरण (Step) 1 — समरूप त्रिभुज पहचानें

   एक ही समय पर सूर्य का कोण एक जैसा होने से स्तंभ और मीनार के त्रिभुज समरूप हैं — AA कसौटी (भूमि से 90° और सूर्य का कोण)।

   चरण (Step) 2 — अनुपात लगाएँ

   ऊँचाई/छाया एक समान: 6/4 = ऊँचाई/28।

   उत्तर (Answer)

   मीनार की ऊँचाई = 6×28/4 = 42 m।

3. दो त्रिभुजों की समरूपता (Similarity) की भुजा-कोण-भुजा (Side-angle-side, SAS) कसौटी को लिखें तथा चित्र के साथ भी व्यक्त करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)
4. एक समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) ABCD की भुजा AD के बढ़े भाग पर E एक बिन्दु है एवं BE, CD को F पर प्रतिच्छेद करता है तो सिद्ध करें कि ΔABE ~ ΔCFB।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)
5. AB = AC वाले एक समद्विबाहु ΔABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है, तो सिद्ध करें कि ΔABD ~ ΔECF है।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)
6. एक ΔABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD (Median AD) एक अन्य ΔPQR की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका (Median of a triangle) PM क्रमशः समानुपाती हैं तो सिद्ध करें कि ΔABC ~ ΔPQR।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer — 5 अंक प्रत्येक)

1. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB.CD है।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   D, BC पर है और ∠ADC=∠BAC।

   सिद्ध करना है (To prove)

   CA² = CB × CD।

   रचना और चित्र (Construction)

   AD जोड़ें। छोटा ΔADC और बड़ा ΔBAC देखें।

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   D, BC पर है। ΔADC और ΔBAC की तुलना करें; दोनों में C वाला कोण समान है।

   प्रयुक्त नियम (Rule)

   समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।

   चरण (Step) 1 — दूसरा कोण मिलाएँ

   D, BC पर है, इसलिए CD और CB एक दिशा में हैं। अतः ∠ACD=∠BCA।

   चरण (Step) 2 — समरूपता

   दो कोण बराबर हैं। AA से ΔADC ∼ ΔBAC। संगत क्रम A↔B, D↔A, C↔C है।

   चरण (Step) 3 — सही अनुपात

   संगत भुजाओं से AC/BC = DC/AC। दोनों ओर BC × AC से गुणा करें: AC² = BC × DC।

   निष्कर्ष (Conclusion)

   अर्थात CA² = CB × CD, सिद्ध हुआ।

2. सिद्ध करें कि यदि किसी त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो और इन कोणों को अंतरित करने वाली भुजाएँ आनुपातिक हों तो त्रिभुज समरूप (Similar) होते हैं।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)