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दो बिंदुओं के बीच दूरी ज्ञात करना (The Distance Formula)

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आज क्या सीखेंगे

दो बिंदुओं के बीच दूरी ज्ञात करना — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
रीना और मीना एक बड़े मैदान में खेल रही हैं। मैदान को ग्राफ़ पेपर की तरह खानों (Grid) में बाँट दिया गया है, जहाँ हर खाना 1 मीटर का है।
रीना बिंदु (1, 0) पर खड़ी है, और मीना बिंदु (-3, 3) पर।
दोनों के बीच सीधी दूरी कितनी है — तिरछी रेखा से, घूमकर नहीं?
निर्देशांक समान पैमाने पर; बिंदुओं के मान चित्र के नीचे हैं।xy0PP(1, 0)QQ(-3, 3)
🧠 समझिए (Understand)
ग्राफ़ पेपर पर हर बिंदु को (x, y) से दिखाया जाता है।
दो बिंदुओं के बीच की सीधी दूरी निकालने के लिए दूरी सूत्र (Distance formula) काम आता है।
यह सूत्र दरअसल पाइथागोरस प्रमेय (अध्याय 6) का ही एक रूप है — x का अंतर और y का अंतर, एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ बनाते हैं, और दूरी कर्ण है।
दो बिंदुओं के x और y के अंतर समकोण त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ हैं। दूरी उनका कर्ण है।
सूत्र (Formula)
PQ = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
दूरी कभी ऋणात्मक (Negative) नहीं हो सकती — वर्गमूल हमेशा धनात्मक लीजिए।
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. दोनों बिंदुओं के निर्देशांक पहचानिए: (x₁,y₁) और (x₂,y₂)।
  2. x का अंतर (x₂-x₁) और y का अंतर (y₂-y₁) निकालिए।
  3. दोनों अंतरों का वर्ग करके जोड़िए, फिर वर्गमूल लीजिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — रीना और मीना
P(1, 0) और Q(-3, 3) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

तरीका (Method)

दो बिंदुओं के x और y के अंतर समकोण त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ हैं। दूरी उनका कर्ण है।

चित्र को समझें (Read the diagram)

बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।

निर्देशांक समान पैमाने पर; बिंदुओं के मान चित्र के नीचे हैं।xy0PP(1, 0)QQ(-3, 3)
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

x का अंतर = -3 - 1 = -4, y का अंतर = 3 - 0 = 3

चरण (Step) 2

PQ = √[(-4)² + 3²] = √[16 + 9] = √25

उत्तर (Answer)

PQ = 5

ध्यान रखें (Remember)

दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती। अंतर का वर्ग पूरे कोष्ठक का लें।

उदाहरण 2 (Example 2) — बोर्ड वाला सवाल
P(2, 3) और Q(10, 18) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

तरीका (Method)

दो बिंदुओं के x और y के अंतर समकोण त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ हैं। दूरी उनका कर्ण है।

चित्र को समझें (Read the diagram)

बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।

निर्देशांक समान पैमाने पर; बिंदुओं के मान चित्र के नीचे हैं।xy0PP(2, 3)QQ(10, 18)
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

दो बिंदुओं P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) के बीच दूरी PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

x का अंतर = 10 - 2 = 8, y का अंतर = 18 - 3 = 15

चरण (Step) 2

PQ = √[8² + 15²] = √[64 + 225] = √289

उत्तर (Answer)

PQ = 17

ध्यान रखें (Remember)

दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती। अंतर का वर्ग पूरे कोष्ठक का लें।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
PQ = (x₂-x₁) + (y₂-y₁) = (-3-1) + (3-0) = -4 + 3 = -1 ❌
दूरी कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती — यह साफ़ इशारा है कि कहीं कुछ ग़लत हुआ
अंतरों को सीधे जोड़ना ग़लत है — वर्ग करके जोड़ना और फिर वर्गमूल लेना होता है
PQ = √[(-4)² + 3²] = √[16 + 9] = √25 = 5

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

बिंदुओं P(-1, -3) और Q(-16, 5) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

सवाल 3

बिंदुओं P(-7, 4) और Q(8, 12) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
अब खुद करके देखिए (Try it)कॉपी में लिखें — हल से मिलाएँइस विषय के बोर्ड प्रश्न — 2 सवाल, पूरे हल के साथअगला विषय (Next topic): बिंदु की अक्षों से दूरी →