📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)एक सीधी सड़क पर तीन दुकानें हैं। दो दुकानों की जगह पता है, और तीसरी का एक निर्देशांक (k) अनजाना है।
k कितना होना चाहिए, ताकि तीनों दुकानें एक ही सीधी सड़क पर हों?
🧠 समझिए (Understand)तीन बिंदु संरेख हों तो उनका क्षेत्रफल शून्य होता है: x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂) = 0।
k वाले बिंदु का y-निर्देशांक है, इसलिए इस सूत्र से k का रैखिक समीकरण बनता है।
आसान तरीका: पहले और तीसरे बिंदु से जाने वाली रेखा का ढलान निकालिए, फिर उसी ढलान से दूसरे बिंदु का y-निर्देशांक।
एक रेखा पर रखे तीन बिंदुओं के लिए क्षेत्रफल 0 है। अज्ञात निर्देशांक रखकर बना समीकरण हल करें।
उदाहरण 1 (Example 1) — A(1, 2), B(7, k), C(4, 6)बिंदु A(1, 2), B(7, k) और C(4, 6) संरेख हैं। k का मान?
दिया हुआ (Given)
बिंदु A(1, 2), B(7, k) और C(4, 6) संरेख हैं।
ज्ञात करना है (Find)
k का मान?
तरीका (Method)
एक रेखा पर रखे तीन बिंदुओं के लिए क्षेत्रफल 0 है। अज्ञात निर्देशांक रखकर बना समीकरण हल करें।
चित्र को समझें (Read the diagram)
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।प्रयुक्त नियम (Rule)
संरेखता के लिए x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)=0 रखें और इससे k निकालें।
चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें
ढलान AC = (6 − 2)/(4 − 1) = 4/3
चरण (Step) 2
k = 2 + (4/3) × (7 − 1) = 2 + 8 = 10
ध्यान रखें (Remember)
ढलान के हर में 0 आए तो भाग न दें; क्षेत्रफल वाली शर्त इस्तेमाल करें।
उदाहरण 2 (Example 2) — A(0, 0), B(−10, k), C(5, 12)बिंदु A(0, 0), B(−10, k) और C(5, 12) संरेख हैं। k का मान?
दिया हुआ (Given)
बिंदु A(0, 0), B(−10, k) और C(5, 12) संरेख हैं।
ज्ञात करना है (Find)
k का मान?
तरीका (Method)
एक रेखा पर रखे तीन बिंदुओं के लिए क्षेत्रफल 0 है। अज्ञात निर्देशांक रखकर बना समीकरण हल करें।
चित्र को समझें (Read the diagram)
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।
बिंदुओं के स्थान दिए निर्देशांकों के अनुसार हैं।प्रयुक्त नियम (Rule)
संरेखता के लिए x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)=0 रखें और इससे k निकालें।
चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें
ढलान AC = 12/5
चरण (Step) 2
k = 0 + (12/5) × (−10) = −24
ध्यान रखें (Remember)
ढलान के हर में 0 आए तो भाग न दें; क्षेत्रफल वाली शर्त इस्तेमाल करें।
⚠️ आम ग़लती (Common mistake)A(1, 2), B(7, k), C(4, 6) में k = 2 + (4/3) × 7 = 11.33 ❌
ढलान को B के x-निर्देशांक से गुणा नहीं, B और A के x-अंतर (7 − 1 = 6) से गुणा करना है
k = 2 + (4/3) × (7 − 1) = 2 + 8 = 10