बहुचरणीय त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ — नियम चुनें, पूरा हल लिखें और जाँचें।
सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिभाषित तथा दिए भिन्नों के हर अशून्य हैं।
sec³θ/(sec²θ − 1) + cosec³θ/(cosec²θ − 1) = secθ cosecθ(secθ + cosecθ)।
एक पक्ष को पहचान और बीजगणित से सरल करके दूसरा पक्ष पाएँगे। जिन पदों से भाग देंगे, उनके अशून्य होने की शर्त बनाए रखेंगे।
sec²θ−1=tan²θ और cosec²θ−1=cot²θ। मूल हर अशून्य और सभी अनुपात परिभाषित होने चाहिए।
sec³θ/tan²θ = (1/cos³θ)/(sin²θ/cos²θ) = 1/(cosθ sin²θ)।
cosec³θ/cot²θ = (1/sin³θ)/(cos²θ/sin²θ) = 1/(sinθ cos²θ)।
दोनों का योग = [1/(sinθ cosθ)][1/sinθ + 1/cosθ] = secθ cosecθ(cosecθ+secθ)। यही दायाँ पक्ष है।
बाएँ पक्ष का योग दाएँ पक्ष के बराबर है; पहचान सिद्ध हुई।
tanθ और cotθ परिभाषित हैं; tanθ ≠ 0 और tanθ ≠ 1 है।
[(1 − tanθ)/(1 − cotθ)]² और (1 + tan²θ)/(1 + cot²θ), दोनों tan²θ के बराबर हैं।
एक पक्ष को पहचान और बीजगणित से सरल करके दूसरा पक्ष पाएँगे। जिन पदों से भाग देंगे, उनके अशून्य होने की शर्त बनाए रखेंगे।
t = tanθ लें। tan और cot दोनों परिभाषित हों, t ≠ 0 तथा t ≠ 1 क्योंकि 1−cotθ हर में है।
[(1−t)/(1−1/t)]² = [t(1−t)/(t−1)]² = (−t)² = t²। यहाँ 1−t = −(t−1) है।
(1+t²)/(1+1/t²) = (1+t²)/[(t²+1)/t²] = t²।
दोनों व्यंजक t² = tan²θ के बराबर हैं, बताई गई परिभाषा-शर्तों के अंतर्गत।
दोनों व्यंजक tan²θ हैं, बताई गई परिभाषा-शर्तों के अंतर्गत।
पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।