sin²θ+cos²θ=1, 1+tan²θ=sec²θ और 1+cot²θ=cosec²θ। दिए अनुपात के अनुसार सही सर्वसमिका चुनें।
sec²A−tan²A=1, इसलिए 9sec²A−9tan²A=9(sec²A−tan²A)=9×1=9।
tanθ=sinθ/cosθ, secθ=1/cosθ, cotθ=cosθ/sinθ और cosecθ=1/sinθ रखें। व्यंजक = [(cosθ+sinθ+1)/cosθ]×[(sinθ+cosθ−1)/sinθ]।
अंश में (u+1)(u−1)=u²−1 लगाएँ, जहाँ u=sinθ+cosθ। अंश = sin²θ+cos²θ+2sinθ cosθ−1 = 2sinθ cosθ। इसे हर sinθ cosθ से भाग देने पर 2 मिलता है।
(secA+tanA)(1−sinA)=[(1+sinA)/cosA](1−sinA)=(1−sin²A)/cosA=cos²A/cosA=cosA।
(1+tan²A)/(1+cot²A)=sec²A/cosec²A=(1/cos²A)/(1/sin²A)=sin²A/cos²A=tan²A।
(i) 9 (ii) 2 (iii) cosA (iv) tan²A
sin²θ+cos²θ=1, 1+tan²θ=sec²θ और 1+cot²θ=cosec²θ। दिए अनुपात के अनुसार सही सर्वसमिका चुनें।
cosec²A = 1+cot²A से cosecA = √(1+cot²A), और sinA=1/cosecA।
cosA = sinA·cotA = cotA/√(1+cot²A)। tanA=1/cotA। secA=1/cosA=√(1+cot²A)/cotA।
sinA=1/√(1+cot²A), secA=√(1+cot²A)/cotA, tanA=1/cotA
समकोण त्रिभुज में sinθ = सम्मुख/कर्ण, cosθ = संलग्न/कर्ण और tanθ = सम्मुख/संलग्न। दिए अनुपात से भुजाएँ मानकर पाइथागोरस से तीसरी भुजा निकालें।
cosA=1/secA। sin²A=1−cos²A=1−1/sec²A=(sec²A−1)/sec²A, इसलिए sinA=√(sec²A−1)/secA।
tanA=sinA/cosA=√(sec²A−1)। cosecA=1/sinA=secA/√(sec²A−1)। cotA=1/tanA=1/√(sec²A−1)।
cosA=1/secA, sinA=√(sec²A−1)/secA, tanA=√(sec²A−1), cosecA=secA/√(sec²A−1), cotA=1/√(sec²A−1)
दिए अनुपात से त्रिभुज की भुजाएँ मानें, पाइथागोरस से तीसरी भुजा पाएँ और फिर माँगे सभी अनुपात निकालकर व्यंजक सरल करें।
63°+27°=90° से sin27°=cos63°, अंश=sin²63°+cos²63°=1। 17°+73°=90° से cos73°=sin17°, हर=cos²17°+sin²17°=1।
25°+65°=90°, इसलिए cos65°=sin25° और sin65°=cos25°। अब व्यंजक = sin²25°+cos²25°=1।
(i) 1 (ii) 1
sec A (1 − sin A)(sec A + tan A) = 1 है।
tanθ=sinθ/cosθ, cotθ=cosθ/sinθ, secθ=1/cosθ और cosecθ=1/sinθ लिखें; फिर बुनियादी सर्वसमिका से सरल करें।
बायाँ पक्ष = (1/cosA)(1−sinA)(1/cosA+sinA/cosA) = (1−sinA)(1+sinA)/cos²A।
= (1−sin²A)/cos²A = cos²A/cos²A = 1 = दायाँ पक्ष।
sec A (1 − sin A)(sec A + tan A) = 1 है।
(cot A − cos A)/(cot A + cos A) = (cosec A − 1)/(cosec A + 1) है।
tanθ=sinθ/cosθ, cotθ=cosθ/sinθ, secθ=1/cosθ और cosecθ=1/sinθ लिखें; फिर बुनियादी सर्वसमिका से सरल करें।
बायाँ पक्ष = [cosA(1/sinA − 1)] / [cosA(1/sinA + 1)] = (1/sinA − 1)/(1/sinA + 1)।
= (1−sinA)/(1+sinA) के बराबर, जिसे cosecA के पदों में लिखने पर (cosecA−1)/(cosecA+1) मिलता है = दायाँ पक्ष।
(cot A − cos A)/(cot A + cos A) = (cosec A − 1)/(cosec A + 1) है।
(sinθ−cosθ+1)/(sinθ+cosθ−1)=1/(secθ−tanθ), जहाँ दोनों पक्ष परिभाषित हों।
tanθ=sinθ/cosθ, cotθ=cosθ/sinθ, secθ=1/cosθ और cosecθ=1/sinθ लिखें; फिर बुनियादी सर्वसमिका से सरल करें।
अंश और हर को cosθ से भाग दें: बायाँ पक्ष = (tanθ−1+secθ)/(tanθ+1−secθ)।
sec²θ−tan²θ=1, इसलिए (secθ+tanθ)(secθ−tanθ)=1। इस 1 को अंश में रखें: secθ+tanθ−1 = (secθ+tanθ)−(secθ+tanθ)(secθ−tanθ) = (secθ+tanθ)[1−(secθ−tanθ)]।
हर tanθ+1−secθ भी 1−(secθ−tanθ) है। अंश और हर का यह समान, शून्य से भिन्न गुणनखंड काटने पर बायाँ पक्ष = secθ+tanθ।
(secθ+tanθ)(secθ−tanθ)=1 से secθ+tanθ=1/(secθ−tanθ)। इसलिए बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर है। सिद्ध हुआ।