अभ्यास — प्रश्नावली 11.2 (Exercise 11.2)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. 6 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर, केंद्र से 10 cm दूर स्थित एक बिंदु से स्पर्श रेखा युग्म बनाना है। स्पर्श रेखाओं की लंबाई पहले से बताइए।
   उत्तर देखें (See answer)

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   OT त्रिज्या है और PT स्पर्श रेखा (Tangent) है। T पर समकोण होने से OP कर्ण है। चित्र मापानुसार नहीं है।

   रचना का आधार (Principle)

   बाहरी बिंदु P और केंद्र O को जोड़ें, OP का मध्य बिंदु लें और OP को व्यास मानकर वृत्त बनाएँ। प्रतिच्छेद बिंदुओं को P से जोड़ने पर दोनों स्पर्श रेखाएँ मिलती हैं।

   चरण (Step) 1 — त्रिज्या और स्पर्श रेखा का संबंध

   वृत्त का केंद्र O, बाहरी बिंदु P और स्पर्श बिंदु T लें। OT त्रिज्या है। स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या, स्पर्श रेखा के लंब होती है, इसलिए ∠OTP=90°।

   चरण (Step) 2 — पाइथागोरस लगाएँ

   OP=10 cm और OT=6 cm। समकोण त्रिभुज OTP में OP कर्ण है: PT²=OP²−OT²=10²−6²=64। इसलिए PT=8 cm।

   चरण (Step) 3 — दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई

   एक ही बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं। इसलिए दूसरी स्पर्श रेखा की लंबाई भी यही होगी।

   उत्तर (Answer)

   8 cm

2. 4 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर, 6 cm त्रिज्या के एक सकेंद्रीय वृत्त के किसी बिंदु से एक स्पर्श रेखा बनानी है। उसकी लंबाई पहले से बताइए।
   उत्तर देखें (See answer)

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   OT त्रिज्या है और PT स्पर्श रेखा (Tangent) है। T पर समकोण होने से OP कर्ण है। चित्र मापानुसार नहीं है।

   रचना का आधार (Principle)

   बाहरी बिंदु P और केंद्र O को जोड़ें, OP का मध्य बिंदु लें और OP को व्यास मानकर वृत्त बनाएँ। प्रतिच्छेद बिंदुओं को P से जोड़ने पर दोनों स्पर्श रेखाएँ मिलती हैं।

   चरण (Step) 1 — त्रिज्या और स्पर्श रेखा का संबंध

   वृत्त का केंद्र O, बाहरी बिंदु P और स्पर्श बिंदु T लें। OT त्रिज्या है। स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या, स्पर्श रेखा के लंब होती है, इसलिए ∠OTP=90°।

   चरण (Step) 2 — पाइथागोरस लगाएँ

   OP=6 cm और OT=4 cm। समकोण त्रिभुज OTP में OP कर्ण है: PT²=OP²−OT²=6²−4²=20। इसलिए PT=2√5 cm।

   चरण (Step) 3 — दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई

   एक ही बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं। इसलिए दूसरी स्पर्श रेखा की लंबाई भी यही होगी।

   उत्तर (Answer)

   2√5 cm

3. 3 cm त्रिज्या के एक वृत्त के बढ़ाए गए व्यास पर, केंद्र से 7 cm दूरी पर स्थित दो बिंदुओं P और Q से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ बनानी हैं। दोनों की लंबाई पहले से बताइए।
   उत्तर देखें (See answer)

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   OT त्रिज्या है और PT स्पर्श रेखा (Tangent) है। T पर समकोण होने से OP कर्ण है। चित्र मापानुसार नहीं है।

   रचना का आधार (Principle)

   बाहरी बिंदु P और केंद्र O को जोड़ें, OP का मध्य बिंदु लें और OP को व्यास मानकर वृत्त बनाएँ। प्रतिच्छेद बिंदुओं को P से जोड़ने पर दोनों स्पर्श रेखाएँ मिलती हैं।

   चरण (Step) 1 — त्रिज्या और स्पर्श रेखा का संबंध

   वृत्त का केंद्र O, बाहरी बिंदु P और स्पर्श बिंदु T लें। OT त्रिज्या है। स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या, स्पर्श रेखा के लंब होती है, इसलिए ∠OTP=90°।

   चरण (Step) 2 — पाइथागोरस लगाएँ

   OP=7 cm और OT=3 cm। समकोण त्रिभुज OTP में OP कर्ण है: PT²=OP²−OT²=7²−3²=40। इसलिए PT=2√10 cm।

   चरण (Step) 3 — दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई

   एक ही बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं। इसलिए दूसरी स्पर्श रेखा की लंबाई भी यही होगी।

   चरण (Step) 4 — दूसरे बाहरी बिंदु Q के लिए

   Q भी केंद्र O से 7 cm दूर है। इसलिए वही गणना QT²=7²−3²=40 लागू होगी। Q से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई भी 2√10 cm होगी।

   उत्तर (Answer)

   2√10 cm (दोनों बिंदुओं से समान)

4. 5 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ बनानी हैं, जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों। बाह्य बिंदु की केंद्र से दूरी पहले से बताइए।
   उत्तर देखें (See answer)

   रचना का आधार (Principle)

   बाहरी बिंदु P और केंद्र O को जोड़ें, OP का मध्य बिंदु लें और OP को व्यास मानकर वृत्त बनाएँ। प्रतिच्छेद बिंदुओं को P से जोड़ने पर दोनों स्पर्श रेखाएँ मिलती हैं।

   चरण (Step) 1 — कोणार्धक गुणधर्म लगाएँ

   केंद्र-बिंदु रेखा दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण (60°) को समद्विभाजित करती है, इसलिए आधा कोण = 30°।

   चरण (Step) 2 — sin30° लगाएँ

   त्रिज्या/दूरी = sin30° = 1/2, इसलिए दूरी = त्रिज्या/sin30° = 5/(1/2) = 10 cm।

   उत्तर (Answer)

   10 cm

5. 8 cm लंबे रेखाखंड AB में, A को केंद्र मानकर 4 cm त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केंद्र मानकर 3 cm त्रिज्या का एक अन्य वृत्त बनाना है। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केंद्र से स्पर्श रेखा की लंबाई पहले से बताइए।
   उत्तर देखें (See answer)

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   बाहरी बिंदु P से स्पर्श लंबाई PT = √(OP²−r²), क्योंकि OT ⟂ PT।

   चरण (Step) 1 — A से स्पर्श रेखा

   A से B-केंद्रित वृत्त (त्रिज्या 3) पर स्पर्श रेखा² = 8²−3² = 55, यानी √55 cm।

   चरण (Step) 2 — B से स्पर्श रेखा

   B से A-केंद्रित वृत्त (त्रिज्या 4) पर स्पर्श रेखा² = 8²−4² = 48, यानी 4√3 cm।

   उत्तर (Answer)

   A से (3cm वाले वृत्त पर) = √55 cm; B से (4cm वाले वृत्त पर) = 4√3 cm

6. ΔABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB=6 cm, BC=8 cm तथा ∠B=90° है। B से AC पर BD लंब है। बिंदुओं B, C, D से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचा गया है। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई पहले से बताइए।
   उत्तर देखें (See answer)

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   B, D और C वृत्त पर हैं। BC व्यास है। AB, B पर त्रिज्या OB के लंब है, इसलिए AB ही स्पर्श रेखा है।

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   बाहरी बिंदु P से स्पर्श लंबाई PT = √(OP²−r²), क्योंकि OT ⟂ PT।

   चरण (Step) 1 — वृत्त का व्यास पहचानें

   BD, AC पर लंब है और D, AC पर है। इसलिए ∠BDC=90°। वृत्त पर बने इस समकोण के सामने BC है, अतः BC वृत्त का व्यास (Diameter) है। केंद्र O, BC के मध्य-बिंदु पर होगा।

   चरण (Step) 2 — AB स्पर्श रेखा क्यों है?

   दिया है AB⊥BC। OB भी BC पर है, इसलिए AB⊥OB। वृत्त के बिंदु B पर त्रिज्या OB के लंब रेखा AB, वृत्त की स्पर्श रेखा है।

   चरण (Step) 3 — लंबाई लिखें

   A से स्पर्श बिंदु B तक लंबाई AB=6 cm दी गई है। इसलिए माँगी गई स्पर्श रेखा की लंबाई 6 cm है।

   उत्तर (Answer)

   6 cm