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बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई (Length of a Tangent from an External Point)

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आज क्या सीखेंगे

बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
एक गोल तालाब के किनारे पर एक पेड़ P है, जिसकी केंद्र से दूरी दी है। पेड़ से तालाब तक एक सीधी स्पर्श रेखा की रस्सी बिछानी है।
रचना से पहले रस्सी कितनी लंबी होगी?
🧠 समझिए (Understand)
स्पर्श रेखा हमेशा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या से समकोण बनाती है।
इसलिए त्रिभुज OQP (O केंद्र, Q स्पर्श बिंदु, P बाहरी बिंदु) समकोण है — समकोण Q पर।
पाइथागोरस से PQ² = OP² − OQ²।
केंद्र और बाहरी बिंदु को मिलाने वाले खंड को व्यास मानकर बना वृत्त समकोण देता है। वही समकोण स्पर्शरेखा की शर्त है।
OPAB
सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।
सूत्र (Formula)
PQ = √(OP² − OQ²)
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. त्रिज्या OQ और केंद्र से दूरी OP पहचानिए।
  2. OP² − OQ² निकालिए।
  3. उसका वर्गमूल लीजिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — r = 5, OP = 13
त्रिज्या 5 सेमी, केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी 13 सेमी। स्पर्श रेखा PQ?

दिया हुआ (Given)

त्रिज्या 5 सेमी, केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी 13 सेमी।

ज्ञात करना है (Find)

स्पर्श रेखा PQ?

तरीका (Method)

केंद्र और बाहरी बिंदु को मिलाने वाले खंड को व्यास मानकर बना वृत्त समकोण देता है। वही समकोण स्पर्शरेखा की शर्त है।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

बाहरी बिंदु P से स्पर्श लंबाई PT = √(OP²−r²), क्योंकि OT ⟂ PT।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

PQ² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144

उत्तर (Answer)

PQ = 12 सेमी

ध्यान रखें (Remember)

अंतिम स्पर्शखंड दोनों बराबर हों और त्रिज्या से समकोण बनाते हों।

उदाहरण 2 (Example 2) — r = 7, OP = 25
त्रिज्या 7 सेमी, केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी 25 सेमी। स्पर्श रेखा PQ?

दिया हुआ (Given)

त्रिज्या 7 सेमी, केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी 25 सेमी।

ज्ञात करना है (Find)

स्पर्श रेखा PQ?

तरीका (Method)

केंद्र और बाहरी बिंदु को मिलाने वाले खंड को व्यास मानकर बना वृत्त समकोण देता है। वही समकोण स्पर्शरेखा की शर्त है।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

बाहरी बिंदु P से स्पर्श लंबाई PT = √(OP²−r²), क्योंकि OT ⟂ PT।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

PQ² = 625 − 49 = 576

उत्तर (Answer)

PQ = 24 सेमी

ध्यान रखें (Remember)

अंतिम स्पर्शखंड दोनों बराबर हों और त्रिज्या से समकोण बनाते हों।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
PQ = √(OP² + OQ²) = √(169 + 25) = √194 सेमी (जोड़ लेना) ❌
पाइथागोरस में कर्ण OP है, इसलिए OP² से OQ² घटाते हैं
समकोण Q पर है, इसलिए PQ वह भुजा है जो कर्ण के नीचे है
PQ² = 169 − 25 = 144, PQ = 12 सेमी

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, और इसके केंद्र O से एक बाहरी बिंदु P की दूरी 25 सेमी है। रचना शुरू करने से पहले, P से वृत्त पर खींची जाने वाली स्पर्श रेखा PQ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

सवाल 3

एक वृत्त की त्रिज्या 20 सेमी है, और इसके केंद्र O से एक बाहरी बिंदु P की दूरी 29 सेमी है। रचना शुरू करने से पहले, P से वृत्त पर खींची जाने वाली स्पर्श रेखा PQ की लंबाई ज्ञात कीजिए।
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
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