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चाप की लंबाई ज्ञात करना (Length of an Arc)

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आज क्या सीखेंगे

चाप की लंबाई ज्ञात करना — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
उसी पिज़्ज़ा के टुकड़े की बाहरी गोल किनारी (Crust) को नापना है — सीधी भुजाएँ छोड़कर।
यह किनारी चाप (Arc) है। यह एक लंबाई है, क्षेत्रफल नहीं।
🧠 समझिए (Understand)
चाप (Arc): वृत्त की परिधि का वह हिस्सा जो त्रिज्यखंड की वक्र भुजा बनाता है।
चाप भी पूरे परिमाप का θ/360 हिस्सा होता है, क्योंकि वह भी केंद्र पर θ कोण बनाता है।
चाप वृत्त की सीमा का हिस्सा है, इसलिए θ/360 को परिधि से गुणा करते हैं।
सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।
सूत्र (Formula)
चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. पूरे वृत्त का परिमाप 2πr निकालिए।
  2. उसे θ/360 से गुणा कीजिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — 60° का चाप
त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त में 60° के चाप की लंबाई?

तरीका (Method)

चाप वृत्त की सीमा का हिस्सा है, इसलिए θ/360 को परिधि से गुणा करते हैं।

चित्र को समझें (Read the diagram)

60° वाला रंगीन भाग त्रिज्यखंड है। उसकी गोल सीमा चाप है; क्षेत्रफल में πr² और चाप में 2πr का 60/360 भाग लें।

दिए कोणों के अनुसार वृत्त के भाग60°r
60° वाला रंगीन भाग त्रिज्यखंड है। उसकी गोल सीमा चाप है; क्षेत्रफल में πr² और चाप में 2πr का 60/360 भाग लें।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

केंद्रीय कोण θ वाले चाप की लंबाई = (θ/360°)2πr।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

पूरा परिमाप = 2 × 22/7 × 21 = 132 cm

चरण (Step) 2

चाप = 60/360 × 132 = 132/6

उत्तर (Answer)

चाप की लंबाई = 22 cm

ध्यान रखें (Remember)

चाप की इकाई सेमी या मीटर है, वर्ग सेमी नहीं।

उदाहरण 2 (Example 2) — बड़ा कोण
त्रिज्या 42 cm वाले वृत्त में 120° के चाप की लंबाई?

तरीका (Method)

चाप वृत्त की सीमा का हिस्सा है, इसलिए θ/360 को परिधि से गुणा करते हैं।

चित्र को समझें (Read the diagram)

120° वाला रंगीन भाग त्रिज्यखंड है। उसकी गोल सीमा चाप है; क्षेत्रफल में πr² और चाप में 2πr का 120/360 भाग लें।

दिए कोणों के अनुसार वृत्त के भाग120°r
120° वाला रंगीन भाग त्रिज्यखंड है। उसकी गोल सीमा चाप है; क्षेत्रफल में πr² और चाप में 2πr का 120/360 भाग लें।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

केंद्रीय कोण θ वाले चाप की लंबाई = (θ/360°)2πr।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

पूरा परिमाप = 2 × 22/7 × 42 = 264 cm

चरण (Step) 2

चाप = 120/360 × 264 = 264/3

उत्तर (Answer)

चाप की लंबाई = 88 cm

ध्यान रखें (Remember)

चाप की इकाई सेमी या मीटर है, वर्ग सेमी नहीं।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
चाप की लंबाई = 60/360 × πr² = 231 (r² लगा दिया) ❌
चाप एक लंबाई है, इसलिए उसमें r² नहीं, सिर्फ़ r आता है
r² वाला सूत्र त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का है
चाप = 60/360 × 2 × 22/7 × 21 = 22 cm

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

एक वृत्त की त्रिज्या 112 cm है। केंद्र पर 90° का कोण बनाने वाले चाप (Arc) की लंबाई ज्ञात कीजिए (π = 22/7 लीजिए)।

सवाल 3

एक वृत्त की त्रिज्या 56 cm है। केंद्र पर 90° का कोण बनाने वाले चाप (Arc) की लंबाई ज्ञात कीजिए (π = 22/7 लीजिए)।
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
अब खुद करके देखिए (Try it)कॉपी में लिखें — हल से मिलाएँ← पिछला विषय (Previous topic): त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करनाअगला विषय (Next topic): त्रिज्यखंड के परिमाप से केंद्रीय कोण ज्ञात करना →