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वर्ग में अंकित वृत्त का शेष क्षेत्रफल (Leftover Area of a Square with an Inscribed Circle)

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आज क्या सीखेंगे

वर्ग और उसमें अंकित वृत्त का शेष क्षेत्रफल — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
एक गत्ते के वर्ग के अंदर सबसे बड़ा गोल ढक्कन रखा गया है, जो वर्ग की चारों भुजाओं को छूता है।
वर्ग का कितना हिस्सा ढक्कन से ढका नहीं है?
🧠 समझिए (Understand)
ढक्कन का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर है, क्योंकि वह चारों भुजाओं को छूता है।
इसलिए त्रिज्या = भुजा ÷ 2।
वर्ग के अंदर, वृत्त से न ढका हिस्सा = वर्ग का क्षेत्रफल − वृत्त का क्षेत्रफल।
वर्ग में ठीक अंकित वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा है। शेष भाग के लिए पूरे वर्ग से वृत्त हटाएँ।
सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।
सूत्र (Formula)
शेष क्षेत्रफल = s² − πr², जहाँ r = s/2
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. भुजा s से वर्ग का क्षेत्रफल s² निकालिए।
  2. त्रिज्या r = s/2 लीजिए और वृत्त का क्षेत्रफल πr² निकालिए।
  3. दोनों का अंतर लीजिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — 14 cm का वर्ग
14 cm भुजा वाले वर्ग में सबसे बड़ा वृत्त अंकित है। बचा क्षेत्रफल?

दिया हुआ (Given)

14 cm भुजा वाले वर्ग में सबसे बड़ा वृत्त अंकित है।

ज्ञात करना है (Find)

बचा क्षेत्रफल?

तरीका (Method)

वर्ग में ठीक अंकित वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा है। शेष भाग के लिए पूरे वर्ग से वृत्त हटाएँ।

चित्र को समझें (Read the diagram)

सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।

सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

वर्ग में अंकित वृत्त का व्यास = वर्ग की भुजा। शेष क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल − वृत्त का क्षेत्रफल।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

वर्ग = 14² = 196 cm², त्रिज्या = 7 cm

चरण (Step) 2

वृत्त = 22/7 × 49 = 154 cm²

चरण (Step) 3

शेष = 196 − 154 = 42 cm²

उत्तर (Answer)

शेष क्षेत्रफल = 42 cm²

ध्यान रखें (Remember)

त्रिज्या भुजा की आधी है। शेष क्षेत्रफल पूरे वर्ग से कम और धनात्मक होना चाहिए।

उदाहरण 2 (Example 2) — 42 cm का वर्ग
42 cm भुजा वाले वर्ग में सबसे बड़ा वृत्त अंकित है। बचा क्षेत्रफल?

दिया हुआ (Given)

42 cm भुजा वाले वर्ग में सबसे बड़ा वृत्त अंकित है।

ज्ञात करना है (Find)

बचा क्षेत्रफल?

तरीका (Method)

वर्ग में ठीक अंकित वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा है। शेष भाग के लिए पूरे वर्ग से वृत्त हटाएँ।

चित्र को समझें (Read the diagram)

सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।

सवाल की माप और चिह्न देखकर चित्र को चरणों से मिलाएँ। चित्र मापानुसार नहीं है।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

वर्ग में अंकित वृत्त का व्यास = वर्ग की भुजा। शेष क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल − वृत्त का क्षेत्रफल।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

वर्ग = 42² = 1764 cm², त्रिज्या = 21 cm

चरण (Step) 2

वृत्त = 22/7 × 441 = 1386 cm²

चरण (Step) 3

शेष = 1764 − 1386 = 378 cm²

उत्तर (Answer)

शेष क्षेत्रफल = 378 cm²

ध्यान रखें (Remember)

त्रिज्या भुजा की आधी है। शेष क्षेत्रफल पूरे वर्ग से कम और धनात्मक होना चाहिए।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
त्रिज्या को भुजा के बराबर लेना (r = 14 cm, 14 cm वर्ग के लिए) ❌
वृत्त का व्यास भुजा के बराबर है, त्रिज्या नहीं
त्रिज्या बड़ी ली तो वृत्त वर्ग से बड़ा निकल आएगा — यह असंभव है
r = 14 ÷ 2 = 7 cm, वृत्त = 154 cm², शेष = 42 cm²

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

112 cm भुजा वाले एक वर्ग के अंदर, उसमें ठीक-ठीक समाने वाला सबसे बड़ा वृत्त बनाया गया है। वर्ग के उस हिस्से का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो वृत्त से ढका नहीं है (π = 22/7 लीजिए)।

सवाल 3

98 cm भुजा वाले एक वर्ग के अंदर, उसमें ठीक-ठीक समाने वाला सबसे बड़ा वृत्त बनाया गया है। वर्ग के उस हिस्से का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो वृत्त से ढका नहीं है (π = 22/7 लीजिए)।
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
अब खुद करके देखिए (Try it)कॉपी में लिखें — हल से मिलाएँ← पिछला विषय (Previous topic): प्रश्नावली 12.2अगला विषय (Next topic): अर्द्धवृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल →