आकृति में, भुजा 14 cm वाले एक वर्ग ABCD में, AD और BC को व्यास मानकर दो अर्धवृत्त APD और BPC खींचे गए हैं।
वर्ग के शेष भाग का (अर्धवृत्तों के बाहर का) क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वर्ग में से दोनों अर्धवृत्त हटाएँ।
वृत्त की परिधि C=2πr और क्षेत्रफल A=πr²। प्रश्न में दिए π का मान प्रयोग करें।
प्रत्येक की त्रिज्या 7 cm। दो अर्धवृत्त मिलकर एक पूरे वृत्त के बराबर: π×7² = 154 cm²।
वर्ग (196) − दोनों अर्धवृत्त (154) = 42 cm²।
42 cm²
भुजा 4 cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है।
वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
चार कोनों के चतुर्थांश और बीच का वृत्त हटाएँ।
वृत्त की परिधि C=2πr और क्षेत्रफल A=πr²। प्रश्न में दिए π का मान प्रयोग करें।
चार चतुर्थांश मिलकर एक पूरा वृत्त (r=1): π(1)²=22/7। बीच का वृत्त (r=1 भी, व्यास2): π(1)²=22/7।
वर्ग (16) − दोनों वृत्त (44/7) = 112/7−44/7 = 68/7 cm²।
68/7 cm² ≈ 9.71 cm²
भुजा 14 cm वाले एक वर्ग ABCD में, A, B, C और D को केंद्र मानकर चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त तीन शेष वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
यहाँ वर्ग के अंदर चार चतुर्थांशों के बीच बचा क्षेत्र चाहिए।
वृत्त की परिधि C=2πr और क्षेत्रफल A=πr²। प्रश्न में दिए π का मान प्रयोग करें।
सटे वृत्त बाह्य स्पर्श करते हैं, इसलिए त्रिज्या = भुजा/2 = 7 cm।
वर्ग के अंदर हर वृत्त का केवल एक चतुर्थांश आता है — चारों मिलकर एक पूरा वृत्त: π(7)²=154 cm²।
वर्ग (196) − वृत्त (154) = 42 cm²।
42 cm²
एक वर्गाकार रूमाल पर, नौ वृत्ताकार डिज़ाइन बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7 cm है (3×3 की पंक्ति में)।
रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
एक पंक्ति में तीन वृत्तों के व्यास हैं।
वृत्त की परिधि C=2πr और क्षेत्रफल A=πr²। प्रश्न में दिए π का मान प्रयोग करें।
हर वृत्त का व्यास 14 cm, तीन-तीन करके भुजा = 3×14 = 42 cm।
वर्ग (42²=1764) − नौ वृत्त (9×22/7×49=1386) = 378 cm²।
378 cm²
संग्रहित प्रश्न में D को OB पर लिखा गया है। तब O, B, D एक ही रेखा पर होंगे और त्रिभुज OBD का क्षेत्रफल 0 होगा। नीचे अपेक्षित गैर-शून्य त्रिभुज के लिए D को OA पर लेकर सुधारा हुआ अभ्यास हल किया है।
O केंद्र का 90° चतुर्थांश है। OA = OB = 3.5 सेमी। D, OA पर और OD = 2 सेमी है।
चतुर्थांश और उसमें से त्रिभुज OBD हटाने पर शेष क्षेत्रफल।
सुधारे हुए अभ्यास में D, OA पर है; मूल प्रश्न की असंगति ऊपर स्पष्ट की गई है।
वृत्त की परिधि C=2πr और क्षेत्रफल A=πr²। प्रश्न में दिए π का मान प्रयोग करें।
क्षेत्रफल = ¼ × (22/7) × 3.5² = 77/8 वर्ग सेमी।
क्षेत्रफल = ½ × OB × OD = ½ × 3.5 × 2 = 7/2 वर्ग सेमी।
सुधारे हुए चित्र में शेष क्षेत्रफल = 77/8 − 7/2 = 49/8 वर्ग सेमी। मूल लिखे D∈OB को मानें तो त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 और शेष 77/8 वर्ग सेमी होगा।
विकर्ण से साझा पत्ती दो बराबर वृत्तखंडों में बँटती है।
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − संबंधित त्रिभुज का क्षेत्रफल। दीर्घ वृत्तखंड = पूरे वृत्त का क्षेत्रफल − लघु वृत्तखंड।
चतुर्थांश − त्रिभुज = (1/4)×22/7×64 − (1/2)×8×8 = 352/7 − 32 = 128/7 cm²।
2 × 128/7 = 256/7 cm² ≈ 36.57 cm²।
256/7 cm² ≈ 36.57 cm²
आकृति में PQ=24 cm, PR=7 cm हैं तथा O वृत्त का केंद्र है और ∠RPQ=90° है (QR वृत्त का व्यास है)।
छायांकित भाग (वृत्त में से त्रिभुज PQR घटाकर) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
∠RPQ = 90° और QR व्यास है। पहले QR निकालें; फिर पूरे वृत्त से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाएँ।
वृत्त की परिधि C=2πr और क्षेत्रफल A=πr²। प्रश्न में दिए π का मान प्रयोग करें।
QR² = PQ²+PR² = 24²+7² = 625, QR = 25 cm (व्यास)। त्रिज्या = 12.5 cm।
वृत्त = (22/7)×12.5² = (22/7)×156.25 = 6875/14 cm²। त्रिभुज PQR = (1/2)×24×7 = 84 cm² = 1176/14 cm²।
वृत्त − त्रिभुज = 6875/14 − 1176/14 = 5699/14 cm² ≈ 407.07 cm²।
5699/14 cm² ≈ 407.07 cm²
एक दौड़ने का पथ दर्शाती आकृति में, जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्धवृत्ताकार हैं, दोनों आंतरिक समांतर रेखाखंडों के बीच की दूरी 60 m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखंड 106 m लंबा है। यह पथ 10 m चौड़ा है।
ज्ञात कीजिए — (i) पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी (ii) पथ का क्षेत्रफल।
पथ = दो सीधे आयत + दो अर्धवलय।
पहिये की एक परिक्रमा में दूरी = 2πr। n चक्करों में कुल दूरी = n×2πr।
सीधे भाग: 2×106=212 m। अर्धवृत्ताकार सिरे (त्रिज्या=60/2=30): 2×π×30 = 1320/7 m।
212 + 1320/7 = 2804/7 m ≈ 400.57 m।
2 आयत (106×10=1060 प्रत्येक) = 2120 m²। बाहरी त्रिज्या 40, भीतरी 30 के अर्ध-वलय: π(40²−30²) = 2200 m²। कुल = 2120+2200 = 4320 m²।
(i) 2804/7 m ≈ 400.57 m (ii) 4320 m²
आकृति में, ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्धवृत्त खींचा गया है।
छायांकित भाग (अर्धवृत्त में से, चतुर्थांश और त्रिभुज ABC के बीच का भाग घटाकर) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
बाहरी अर्धवृत्त में से चाप BC और जीवा BC के बीच का वृत्तखंड घटाएँ।
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − संबंधित त्रिभुज का क्षेत्रफल। दीर्घ वृत्तखंड = पूरे वृत्त का क्षेत्रफल − लघु वृत्तखंड।
चतुर्थांश ABC = (1/4)×22/7×14² = 154 cm²। त्रिभुज ABC (समकोण, दोनों भुजा 14) = (1/2)×14×14 = 98 cm²।
154−98 = 56 cm² (चाप BC और जीवा BC के बीच का भाग)।
BC = 14√2 (कर्ण)। अर्धवृत्त त्रिज्या = 7√2। क्षेत्रफल = (1/2)×22/7×(7√2)² = (1/2)×22/7×98 = 154 cm²।
154 − 56 = 98 cm² — यह एक प्रसिद्ध परिणाम है: अर्धवृत्त (कर्ण पर) का क्षेत्रफल चतुर्थांश के बराबर होता है।
98 cm²