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असतत बारंबारता बंटन का माध्य (Mean of a Discrete Frequency Distribution)

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आज क्या सीखेंगे

असतत बारंबारता बंटन का माध्य — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
एक कक्षा के विद्यार्थियों ने एक सवाल के कितने अंक लिए, इसकी गिनती सारणी में है: किस अंक के कितने विद्यार्थी।
पूरी कक्षा का औसत अंक कितना है?
🧠 समझिए (Understand)
यहाँ हर चर (x) एक ही मान है, जिसकी बारंबारता (f) दी है।
माध्य = Σfx / Σf — हर मान को उसकी बारंबारता से गुणा करके जोड़िए।
बारंबारता बताती है कि कोई मान कितनी बार आया। इसलिए x को f बार जोड़ने के बदले fx लेते हैं।
सूत्र (Formula)
माध्य = Σfx / Σf
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. हर चर x को उसकी बारंबारता f से गुणा कीजिए।
  2. सब गुणनफल जोड़कर Σfx निकालिए।
  3. Σf (कुल बारंबारता) से भाग दीजिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — f: 1, 2, 2, 1, 4
चर 2, 4, 6, 8, 10 की बारंबारता क्रमशः 1, 2, 2, 1, 4 है। माध्य?

दिया हुआ (Given)

चर 2, 4, 6, 8, 10 की बारंबारता क्रमशः 1, 2, 2, 1, 4 है।

ज्ञात करना है (Find)

माध्य?

तरीका (Method)

बारंबारता बताती है कि कोई मान कितनी बार आया। इसलिए x को f बार जोड़ने के बदले fx लेते हैं।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

असतत बारंबारता बंटन का माध्य x̄=Σfx/Σf।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

Σfx = 1×2 + 2×4 + 2×6 + 1×8 + 4×10 = 70

चरण (Step) 2

Σf = 10

चरण (Step) 3

माध्य = 70/10 = 7

उत्तर (Answer)

माध्य = 7

ध्यान रखें (Remember)

Σf कुल प्रेक्षण हैं, अलग-अलग लिखे मानों की गिनती नहीं।

उदाहरण 2 (Example 2) — f: 2, 3, 1, 1, 3
चर 2, 4, 6, 8, 10 की बारंबारता क्रमशः 2, 3, 1, 1, 3 है। माध्य?

दिया हुआ (Given)

चर 2, 4, 6, 8, 10 की बारंबारता क्रमशः 2, 3, 1, 1, 3 है।

ज्ञात करना है (Find)

माध्य?

तरीका (Method)

बारंबारता बताती है कि कोई मान कितनी बार आया। इसलिए x को f बार जोड़ने के बदले fx लेते हैं।

प्रयुक्त सूत्र (Formula)

असतत बारंबारता बंटन का माध्य x̄=Σfx/Σf।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

Σfx = 4 + 12 + 6 + 8 + 30 = 60

चरण (Step) 2

माध्य = 60/10 = 6

उत्तर (Answer)

माध्य = 6

ध्यान रखें (Remember)

Σf कुल प्रेक्षण हैं, अलग-अलग लिखे मानों की गिनती नहीं।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
f: 1, 2, 2, 1, 4 के लिए माध्य = (2 + 4 + 6 + 8 + 10)/5 = 6 ❌
बारंबारता का भार लगाना भूल गए — हर मान बराबर नहीं गिना जाता
माध्य = Σfx/Σf = 70/10 = 7

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

एक कक्षा के 10 विद्यार्थियों ने एक सवाल के लिए जितने अंक लिए, उनका बंटन यह है: चर 2, 4, 6, 8, 10 की बारंबारता क्रमशः 2, 2, 1, 4, 1 है। माध्य ज्ञात कीजिए।

सवाल 3

एक कक्षा के 10 विद्यार्थियों ने एक सवाल के लिए जितने अंक लिए, उनका बंटन यह है: चर 2, 4, 6, 8, 10 की बारंबारता क्रमशः 2, 1, 3, 3, 1 है। माध्य ज्ञात कीजिए।
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
अब खुद करके देखिए (Try it)कॉपी में लिखें — हल से मिलाएँइस विषय के बोर्ड प्रश्न — 1 सवाल, पूरे हल के साथ← पिछला विषय (Previous topic): माध्य दिया हो तो अज्ञात प्रेक्षणअगला विषय (Next topic): माध्य: कल्पित माध्य और पग-विचलन →