📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)सीमा अपने मोहल्ले के घरों की मासिक बिजली खपत का रिकॉर्ड रखती है।
उसके पास हर घर की अलग-अलग खपत नहीं, बल्कि वर्ग अंतरालों में बँटी एक सारणी है — जैसे 0-10 यूनिट वाले कितने घर, 10-20 यूनिट वाले कितने घर।
ऐसे वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य (औसत) कैसे निकालें?
🧠 समझिए (Understand)वर्ग चिह्न / मध्य-बिंदु (Class mark): हर वर्ग अंतराल का बीच का मान — (निचली सीमा + ऊपरी सीमा) / 2
चूँकि हमें यह नहीं पता कि किसी वर्ग के अंदर के घरों की खपत ठीक-ठीक कितनी है, हम मान लेते हैं कि वे सब उस वर्ग के मध्य-बिंदु के बराबर खपत करते हैं।
वर्गीकृत आँकड़ों में प्रत्येक वर्ग का प्रतिनिधि उसका मध्य-बिंदु है। बारंबारता जितनी है, वह मान उतनी बार गिना जाता है।
उदाहरण 1 (Example 1) — छोटी सारणीवर्ग अंतराल 0-10: 2, 10-20: 4, 20-30: 6, 30-40: 4, 40-50: 2 — माध्य ज्ञात कीजिए।
तरीका (Method)
वर्गीकृत आँकड़ों में प्रत्येक वर्ग का प्रतिनिधि उसका मध्य-बिंदु है। बारंबारता जितनी है, वह मान उतनी बार गिना जाता है।
प्रयुक्त सूत्र (Formula)
वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य x̄=Σfᵢxᵢ/Σfᵢ, जहाँ xᵢ हर वर्ग का मध्य मान है।
चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें
मध्य-बिंदु: 5, 15, 25, 35, 45
चरण (Step) 2
Σfᵢxᵢ = 2×5 + 4×15 + 6×25 + 4×35 + 2×45 = 450
चरण (Step) 3
Σfᵢ = 2+4+6+4+2 = 18
उत्तर (Answer)
माध्य = 450 / 18 = 25
ध्यान रखें (Remember)
कुल Σf और कुल Σfx अलग जोड़ें। समूहित आँकड़ों से मिला माध्य सामान्यतः अनुमान है।
उदाहरण 2 (Example 2) — बराबर बारंबारताओं के साथवर्ग अंतराल 0-20: 9, 20-40: 9, 40-60: 9, 60-80: 9, 80-100: 9 — माध्य ज्ञात कीजिए।
तरीका (Method)
वर्गीकृत आँकड़ों में प्रत्येक वर्ग का प्रतिनिधि उसका मध्य-बिंदु है। बारंबारता जितनी है, वह मान उतनी बार गिना जाता है।
प्रयुक्त सूत्र (Formula)
वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य x̄=Σfᵢxᵢ/Σfᵢ, जहाँ xᵢ हर वर्ग का मध्य मान है।
चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें
मध्य-बिंदु: 10, 30, 50, 70, 90
चरण (Step) 2
Σfᵢxᵢ = 9×(10+30+50+70+90) = 9×250 = 2250
चरण (Step) 3
Σfᵢ = 9×5 = 45
उत्तर (Answer)
माध्य = 2250 / 45 = 50
ध्यान रखें (Remember)
कुल Σf और कुल Σfx अलग जोड़ें। समूहित आँकड़ों से मिला माध्य सामान्यतः अनुमान है।
⚠️ आम ग़लती (Common mistake)माध्य = Σfᵢ×(निचली सीमा) / Σfᵢ = (2×0 + 4×10 + 6×20 + 4×30 + 2×40) / 18 = 360 / 18 = 20 ❌
यहाँ वर्ग की निचली सीमा को ही xᵢ मान लिया गया — मध्य-बिंदु नहीं निकाला गया
xᵢ हमेशा (निचली सीमा + ऊपरी सीमा) / 2 होता है, सिर्फ़ निचली सीमा नहीं
पहले मध्य-बिंदु निकालिए: xᵢ = 5, 15, 25, 35, 45 — फिर माध्य = Σfᵢxᵢ/Σfᵢ = 450/18 = 25