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द्विघात बहुपद के शून्यक ज्ञात करना (Finding the Zeroes of a Quadratic)

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आज क्या सीखेंगे

द्विघात बहुपद के शून्यक ज्ञात करना — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
राम के पास एक आयताकार (rectangular) खेत है। उसकी लंबाई (length) और चौड़ाई (breadth) का जोड़ 7 मीटर है।
खेत का क्षेत्रफल (area) 12 वर्ग मीटर है। राम को लंबाई और चौड़ाई अलग-अलग जाननी है।
अगर लंबाई x मीटर हो, तो चौड़ाई (7 - x) मीटर होगी। क्षेत्रफल = x × (7 - x) = 12
यानी 7x - x² = 12, यानी x² - 7x + 12 = 0 — यह ठीक बहुपद x² - 7x + 12 जैसा ही है!
इसके शून्यक (zeroes) निकालने का मतलब है: वो दो संख्याएँ ढूँढना जिनका जोड़ 7 और गुणनफल 12 हो — यानी राम के खेत की लंबाई और चौड़ाई।
🧠 समझिए (Understand)
बहुपद p(x) का शून्यक (Zero) वह संख्या है, जिस पर p(x) का मान शून्य हो जाता है।
द्विघात बहुपद (Quadratic polynomial) ax² + bx + c के अधिकतम 2 शून्यक हो सकते हैं।
शून्यक निकालने का सबसे आसान तरीका है: बहुपद को दो सरल (simple) गुणनखंडों में तोड़ना।
शून्यक पर बहुपद का मान 0 होता है। दो गुणनखंडों का गुणनफल 0 तभी होगा जब कम से कम एक गुणनखंड 0 हो।
सूत्र (Formula)
मध्य पद विभक्त करना (Splitting the middle term): दो संख्याएँ खोजिए जिनका योग b और गुणनफल a×c हो।
दोनों संख्याओं का गुणनफल हमेशा a×c के बराबर होना चाहिए, सिर्फ़ c के बराबर नहीं — यह सबसे ज़्यादा भूली जाने वाली बात है।
a = 1 हो तब गुणनफल सीधे c के बराबर होता है, जो अक्सर उलझन पैदा करता है।
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. बहुपद को ax² + bx + c के रूप में देखिए।
  2. दो ऐसी संख्याएँ खोजिए जिनका योग b और गुणनफल a×c हो।
  3. bx को उन दो संख्याओं के पदों में तोड़िए।
  4. पहले दो पदों से और बाकी दो पदों से उभयनिष्ठ (common) गुणनखंड निकालिए।
  5. दोनों कोष्ठकों (brackets) को शून्य के बराबर रखकर x ज्ञात कीजिए — यही शून्यक हैं।
उदाहरण 1 (Example 1) — राम का खेत — दोनों शून्यक धनात्मक
x² - 7x + 12 के शून्यक ज्ञात कीजिए।

तरीका (Method)

शून्यक पर बहुपद का मान 0 होता है। दो गुणनखंडों का गुणनफल 0 तभी होगा जब कम से कम एक गुणनखंड 0 हो।

प्रयुक्त नियम (Rule)

यदि p(x) = A(x)B(x) और p(x) = 0, तो A(x) = 0 या B(x) = 0। इसलिए पहले गुणनखंड करते हैं, फिर हर गुणनखंड को शून्य रखते हैं।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

पहले सभी पदों से 1 साझा निकालें: 1[x² + (-7)x + (12)]।

चरण (Step) 2

अंदर दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग -7 और गुणनफल 12 हो। वे -3 और -4 हैं: (-3) + (-4) = -7, (-3) × (-4) = 12।

चरण (Step) 3

बीच का पद बाँटें: x² − (3)x − (4)x + (12)। पहले दो पदों से x और अगले दो से −(4) साझा लें।

चरण (Step) 4

x[x − (3)] − (4)[x − (3)] = [x − (3)][x − (4)]। इसलिए मूल बहुपद = 1[x − (3)][x − (4)]।

चरण (Step) 5

गुणनफल 0 होने पर x − (3) = 0 या x − (4) = 0। इसलिए x = 3 या 4। छोटा मान पहले लिखें।

जाँच (Check)

जाँच: x = 3 पर 9 + (-21) + (12) = 0; x = 4 पर 16 + (-28) + (12) = 0।

उत्तर (Answer)

x = 3 या x = 4

ध्यान रखें (Remember)

हर मिले मान को मूल बहुपद में रखें। दोनों पर मान 0 आना चाहिए।

उदाहरण 2 (Example 2) — जब a, 1 न हो — बोर्ड वाला सवाल
3x² - x - 4 के शून्यक ज्ञात कीजिए।

तरीका (Method)

शून्यक पर बहुपद का मान 0 होता है। दो गुणनखंडों का गुणनफल 0 तभी होगा जब कम से कम एक गुणनखंड 0 हो।

प्रयुक्त नियम (Rule)

यदि p(x) = A(x)B(x) और p(x) = 0, तो A(x) = 0 या B(x) = 0। इसलिए पहले गुणनखंड करते हैं, फिर हर गुणनखंड को शून्य रखते हैं।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

पहले सभी पदों से 3 साझा निकालें: 3[x² + (-1/3)x + (-4/3)]।

चरण (Step) 2

अंदर दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग -1/3 और गुणनफल -4/3 हो। वे 1 और -4/3 हैं: (1) + (-4/3) = -1/3, (1) × (-4/3) = -4/3।

चरण (Step) 3

बीच का पद बाँटें: x² − (-1)x − (4/3)x + (-4/3)। पहले दो पदों से x और अगले दो से −(4/3) साझा लें।

चरण (Step) 4

x[x − (-1)] − (4/3)[x − (-1)] = [x − (-1)][x − (4/3)]। इसलिए मूल बहुपद = 3[x − (-1)][x − (4/3)]।

चरण (Step) 5

गुणनफल 0 होने पर x − (-1) = 0 या x − (4/3) = 0। इसलिए x = -1 या 4/3। छोटा मान पहले लिखें।

जाँच (Check)

जाँच: x = -1 पर 3 + (1) + (-4) = 0; x = 4/3 पर 16/3 + (-4/3) + (-4) = 0।

उत्तर (Answer)

x = 4/3 या x = -1

ध्यान रखें (Remember)

हर मिले मान को मूल बहुपद में रखें। दोनों पर मान 0 आना चाहिए।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
x² - 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 ❌
2 और 3 का गुणनफल 6 तो सही है, पर योग +5 है — जबकि चाहिए था -5
जब c धनात्मक (positive) हो और b ऋणात्मक (negative), तो दोनों संख्याएँ ऋणात्मक होनी चाहिए
सही संख्याएँ हैं -2 और -3, क्योंकि -2 + -3 = -5 और -2 × -3 = 6
x² - 5x + 6 = x² - 2x - 3x + 6 = (x - 2)(x - 3), शून्यक: x = 2, x = 3

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

द्विघात बहुपद 2x² - 18x + 36 के शून्यक ज्ञात कीजिए।

सवाल 3

द्विघात बहुपद x² - x - 12 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
अब खुद करके देखिए (Try it)कॉपी में लिखें — हल से मिलाएँइस विषय के बोर्ड प्रश्न — 2 सवाल, पूरे हल के साथ← पिछला विषय (Previous topic): प्रश्नावली 2.1अगला विषय (Next topic): शून्यकों का योग और गुणनफल सत्यापित करना →