a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के लिए: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ हो तो एक अद्वितीय हल; a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो तो अनंत हल; और a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हो तो कोई हल नहीं।
a1/a2=1/3, b1/b2=−3/−9=1/3, c1/c2=−3/−2=3/2।
पहले दो अनुपात बराबर पर तीसरा भिन्न — रेखाएँ समांतर हैं, कोई हल नहीं।
विलोपन विधि (Elimination): किसी एक चर के गुणांक बराबर करें। फिर समीकरणों को जोड़ या घटाकर उस चर को हटाएँ, दूसरा चर निकालें और वापस रखकर पहला चर पाएँ।
a1/a2=3/6=1/2, b1/b2=−5/−10=1/2, c1/c2=20/40=1/2।
तीनों अनुपात बराबर — रेखाएँ संपाती हैं, अपरिमित अनेक हल हैं।
D = a₁b₂ − a₂b₁, x = (c₁b₂ − c₂b₁)/D और y = (a₁c₂ − a₂c₁)/D। यह सूत्र D ≠ 0 होने पर प्रयोग होता है।
a1/a2=2/3, b1/b2=1/2 — असमान, अद्वितीय हल है।
मानक रूप 2x+y−5=0, 3x+2y−8=0। D=2(2)−3(1)=1। x=(1×(−8)−2×(−5))/1=2। y=((−5)×3−(−8)×2)/1=1।
x = 2, y = 1
D = a₁b₂ − a₂b₁, x = (c₁b₂ − c₂b₁)/D और y = (a₁c₂ − a₂c₁)/D। यह सूत्र D ≠ 0 होने पर प्रयोग होता है।
a1/a2=1/3, b1/b2=−3/−3=1 — असमान, अद्वितीय हल है।
D=1(−3)−3(−3)=6। x=((−3)(−15)−(−3)(−7))/6=24/6=4। y=((−7)(3)−(−15)(1))/6=−6/6=−1।
x = 4, y = −1
पहले a₁/a₂ और b₁/b₂ की तुलना करें। अनंत हल के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए; कोई हल नहीं के लिए पहले दो बराबर और तीसरा अलग; अद्वितीय हल के लिए पहले दो अनुपात अलग होने चाहिए।
कोई हल न होने के लिए a1/a2=b1/b2≠c1/c2, यानी 3/(2k−1)=1/(k−1)।
3(k−1)=2k−1 से 3k−3=2k−1, k=2। जाँचें c1/c2=1/5 जो 3/(2k−1)=1 के बराबर नहीं — शर्त पूरी होती है।
k = 2
D = a₁b₂ − a₂b₁, x = (c₁b₂ − c₂b₁)/D और y = (a₁c₂ − a₂c₁)/D। यह सूत्र D ≠ 0 होने पर प्रयोग होता है।
मानक रूप 8x+5y−9=0, 3x+2y−4=0। D=8(2)−3(5)=1।
x=(b1c2−b2c1)/D=(5(−4)−2(−9))/1=(−20+18)/1=−2। y=(c1a2−c2a1)/D=((−9)(3)−(−4)(8))/1=(−27+32)/1=5।
8(−2)+5(5)=−16+25=9 ✓, 3(−2)+2(5)=4 ✓।
x = −2, y = 5
एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। विद्यार्थी A, जो 20 दिन भोजन करता है, ₹1000 अदा करता है; विद्यार्थी B, जो 26 दिन भोजन करता है, ₹1180 अदा करता है।
नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
विलोपन विधि (Elimination): किसी एक चर के गुणांक बराबर करें। फिर समीकरणों को जोड़ या घटाकर उस चर को हटाएँ, दूसरा चर निकालें और वापस रखकर पहला चर पाएँ।
नियत व्यय f, प्रतिदिन भोजन d। f+20d=1000। f+26d=1180।
घटाने पर 6d=180, d=30। फिर f=400।
नियत व्यय = ₹400, प्रतिदिन भोजन = ₹30
एक भिन्न 1/3 हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है, और 1/4 हो जाती है, जब हर में 8 जोड़ा जाता है।
वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
दो अज्ञात राशियों को x और y मानें। सवाल की हर स्वतंत्र शर्त से एक समीकरण बनाएँ, फिर दोनों समीकरणों को साथ हल करें।
अंश n, हर d। (n−1)/d=1/3 से 3n−d=3। n/(d+8)=1/4 से 4n−d=8।
घटाने पर n=5। फिर d=12।
5/12
यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता।
टेस्ट में कितने प्रश्न थे?
विलोपन विधि (Elimination): किसी एक चर के गुणांक बराबर करें। फिर समीकरणों को जोड़ या घटाकर उस चर को हटाएँ, दूसरा चर निकालें और वापस रखकर पहला चर पाएँ।
सही उत्तर x, अशुद्ध y। 3x−y=40। 4x−2y=50।
दूसरे को 2 से भाग दें: 2x−y=25। पहले से घटाएँ: x=15। फिर y=5। कुल प्रश्न=x+y=20।
20 प्रश्न
दो अज्ञात राशियों को x और y मानें। सवाल की हर स्वतंत्र शर्त से एक समीकरण बनाएँ, फिर दोनों समीकरणों को साथ हल करें।
लंबाई l, चौड़ाई w लें। (l−5)(w+3)=lw−9 से lw+3l−5w−15=lw−9; इसलिए 3l−5w=6।
(l+3)(w+2)=lw+67 से lw+2l+3w+6=lw+67; इसलिए 2l+3w=61।
पहले को 3 से: 9l−15w=18। दूसरे को 5 से: 10l+15w=305। जोड़ने पर 19l=323, इसलिए l=17।
34+3w=61 से w=9। मूल क्षेत्रफल 153; नई स्थितियों में 12×12=144 और 20×11=220, यानी 9 कम और 67 अधिक।
लंबाई 17, चौड़ाई 9 इकाई।