प्रतिस्थापन विधि (Substitution): एक समीकरण से किसी एक चर का मान दूसरे चर के रूप में लिखें और उसे दूसरे समीकरण में रखें।
x+y=5 को 3 से गुणा करें: 3x+3y=15। इसमें 2x−3y=4 जोड़ने पर y के पद कट जाते हैं: 5x=19, इसलिए x=19/5। अब y=5−19/5=6/5।
x+y=5 से x=5−y। इसे दूसरे समीकरण में रखें: 2(5−y)−3y=4 ⇒ 10−5y=4 ⇒ −5y=−6 ⇒ y=6/5। फिर x=5−6/5=19/5।
19/5+6/5=5 और 2×19/5−3×6/5=20/5=4। दोनों समीकरण सही हैं।
x = 19/5, y = 6/5
प्रतिस्थापन विधि (Substitution): एक समीकरण से किसी एक चर का मान दूसरे चर के रूप में लिखें और उसे दूसरे समीकरण में रखें।
2x−2y=2 को 2 से गुणा करें: 4x−4y=4। इसमें 3x+4y=10 जोड़ें: 7x=14, इसलिए x=2। अब 2×2−2y=2 से y=1।
2x−2y=2 को 2 से भाग दें: x−y=1, यानी x=y+1। पहले समीकरण में रखें: 3(y+1)+4y=10 ⇒ 7y+3=10 ⇒ y=1। इसलिए x=2।
3×2+4×1=10 और 2×2−2×1=2।
x = 2, y = 1
प्रतिस्थापन विधि (Substitution): एक समीकरण से किसी एक चर का मान दूसरे चर के रूप में लिखें और उसे दूसरे समीकरण में रखें।
3x−5y=4 को 3 से गुणा करें: 9x−15y=12। इसे 9x−2y=7 से घटाएँ: 13y=−5, इसलिए y=−5/13। पहले समीकरण में रखने पर 3x+25/13=4 ⇒ 3x=27/13 ⇒ x=9/13।
3x−5y=4 से x=(4+5y)/3। दूसरे समीकरण में रखें: 3(4+5y)−2y=7 ⇒ 12+13y=7 ⇒ y=−5/13। फिर x=(4−25/13)/3=9/13।
3×9/13−5×(−5/13)=52/13=4। 9×9/13−2×(−5/13)=91/13=7।
x = 9/13, y = −5/13
प्रतिस्थापन विधि (Substitution): एक समीकरण से किसी एक चर का मान दूसरे चर के रूप में लिखें और उसे दूसरे समीकरण में रखें।
पहले समीकरण को 6 से और दूसरे को 3 से गुणा करें। हमें 3x+4y=−6 और 3x−y=9 मिलते हैं। दोनों पक्षों को समान संख्या से गुणा करने पर हल नहीं बदलता।
पहले में से दूसरा समीकरण घटाएँ: 5y=−15 ⇒ y=−3। 3x−y=9 में रखें: 3x+3=9 ⇒ x=2।
3x−y=9 से x=3+y/3। इसे 3x+4y=−6 में रखें: 9+y+4y=−6 ⇒ 5y=−15 ⇒ y=−3। अब x=3−1=2।
2/2+2×(−3)/3=1−2=−1 और 2−(−3)/3=3।
x = 2, y = −3
दो अज्ञात राशियों को x और y मानें। सवाल की हर स्वतंत्र शर्त से एक समीकरण बनाएँ, फिर दोनों समीकरणों को साथ हल करें।
अंश n, हर d लें। (n+1)/(d−1)=1 से n−d=−2। n/(d+1)=1/2 से 2n−d=1।
(2n−d)−(n−d)=1−(−2), इसलिए n=3।
3−d=−2 से d=5। जाँच: (3+1)/(5−1)=1 और 3/(5+1)=1/2।
भिन्न 3/5 है।
दो अज्ञात राशियों को x और y मानें। सवाल की हर स्वतंत्र शर्त से एक समीकरण बनाएँ, फिर दोनों समीकरणों को साथ हल करें।
नूरी की आयु u और सोनू की v वर्ष लें। पाँच वर्ष पहले: u−5=3(v−5)। दस वर्ष बाद: u+10=2(v+10)। समय बदलने पर दोनों की आयु बदलती है।
u−5=3v−15 ⇒ u−3v=−10। u+10=2v+20 ⇒ u−2v=10।
पहले में से दूसरा घटाएँ: −v=−20, इसलिए v=20। अब u−2×20=10 से u=50।
पाँच वर्ष पहले: 50−5=45 और 3(20−5)=45। दस वर्ष बाद: 50+10=60 और 2(20+10)=60।
नूरी = 50 वर्ष, सोनू = 20 वर्ष
यदि दहाई का अंक x और इकाई का अंक y हो, तो संख्या = 10x + y और उलटी संख्या = 10y + x। दोनों का अंतर = 9(x − y)।
दहाई का अंक x और इकाई का y लें। संख्या 10x+y होगी, क्योंकि दहाई के अंक का स्थानिक मान दस गुना होता है। अंक पलटने पर संख्या 10y+x होगी।
अंकों का योग: x+y=9। दूसरी शर्त: 9(10x+y)=2(10y+x)। कोष्ठक खोलें: 90x+9y=20y+2x ⇒ 88x=11y ⇒ y=8x।
x+y=9 में y=8x रखें: 9x=9 ⇒ x=1। तब y=8 और संख्या 10×1+8=18।
1+8=9 और 9×18=162=2×81।
18
मीना ₹2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से ₹50 तथा ₹100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए।
ज्ञात कीजिए कि उसने ₹50 और ₹100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए।
विलोपन विधि (Elimination): किसी एक चर के गुणांक बराबर करें। फिर समीकरणों को जोड़ या घटाकर उस चर को हटाएँ, दूसरा चर निकालें और वापस रखकर पहला चर पाएँ।
₹50 के नोट a, ₹100 के b। a+b=25। 50a+100b=2000।
दूसरे को 50 से भाग दें: a+2b=40। पहले से घटाएँ: b=15। फिर a=10।
₹50 के 10 नोट, ₹100 के 15 नोट
किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के ₹21 अदा किए।
नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
दो अज्ञात राशियों को x और y मानें। सवाल की हर स्वतंत्र शर्त से एक समीकरण बनाएँ, फिर दोनों समीकरणों को साथ हल करें।
नियत किराया f, अतिरिक्त प्रति दिन d। सरिता: 7−3=4 अतिरिक्त दिन, f+4d=27। सूसी: 5−3=2 अतिरिक्त दिन, f+2d=21।
घटाने पर 2d=6, d=3। फिर f=15।
नियत किराया = ₹15, प्रति अतिरिक्त दिन = ₹3