📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)सोनाली रोज़ गणित का अभ्यास करती है। पहले दिन उसने 3 सवाल हल किए।
हर अगले दिन, उसने पिछले दिन से 2 ज़्यादा सवाल हल किए — दूसरे दिन 5, तीसरे दिन 7, और ऐसे ही आगे।
उसकी सहेली ने पूछा: '10वें दिन तुमने कितने सवाल हल किए, बिना गिनती किए बता सकती हो?'
यह एक समांतर श्रेढ़ी (A.P.) है: 3, 5, 7, 9, ... — पहला पद a = 3, सार्व अंतर (Common difference) d = 2।
🧠 समझिए (Understand)A.P. का पहला पद a कहलाता है, और हर अगले पद में जुड़ने वाली नियत संख्या सार्व अंतर d।
किसी भी पद की जगह (जैसे 10वाँ, 25वाँ) को n से दिखाते हैं।
aₙ उस n वें पद का मान है — यही निकालना होता है।
पहले पद से nवें पद तक n − 1 बार d जोड़ते हैं। इसलिए सूत्र में n − 1 है, n नहीं।
ध्यान दीजिए: (n - 1), सिर्फ़ n नहीं — पहला पद खुद में d एक बार भी नहीं जुड़ता (वह तो शुरुआत ही है)।
10वें पद तक पहुँचने के लिए d सिर्फ़ 9 बार जुड़ता है, 10 बार नहीं।
उदाहरण 1 (Example 1) — सोनाली का अभ्यासA.P. 3, 5, 7, ... का 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।
तरीका (Method)
पहले पद से nवें पद तक n − 1 बार d जोड़ते हैं। इसलिए सूत्र में n − 1 है, n नहीं।
प्रयुक्त सूत्र (Formula)
A.P. का nवाँ पद aₙ = a + (n − 1)d, जहाँ a पहला पद और d सार्व अंतर है।
चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें
यहाँ a = 3, d = 2, n = 10
चरण (Step) 2
a₁₀ = 3 + (10 - 1) × 2 = 3 + 18 = 21
ध्यान रखें (Remember)
n = 1 रखने पर पहला पद a मिलना चाहिए।
उदाहरण 2 (Example 2) — जब A.P. घट रही होA.P. 20, 17, 14, ... का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए।
तरीका (Method)
पहले पद से nवें पद तक n − 1 बार d जोड़ते हैं। इसलिए सूत्र में n − 1 है, n नहीं।
प्रयुक्त सूत्र (Formula)
A.P. का nवाँ पद aₙ = a + (n − 1)d, जहाँ a पहला पद और d सार्व अंतर है।
चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें
यहाँ a = 20, d = 17 - 20 = -3, n = 12
चरण (Step) 2
a₁₂ = 20 + (12 - 1) × (-3) = 20 - 33 = -13
ध्यान रखें (Remember)
n = 1 रखने पर पहला पद a मिलना चाहिए।
⚠️ आम ग़लती (Common mistake)A.P. 3, 5, 7, ... के 10वें पद के लिए: a₁₀ = a + n×d = 3 + 10×2 = 23 ❌
सूत्र में (n - 1) है, सिर्फ़ n नहीं
पहला पद खुद ही (1 - 1) = 0 बार d जोड़कर बनता है, 1 बार नहीं
इसलिए 10वें पद तक पहुँचने में d सिर्फ़ 9 बार जुड़ेगा, 10 बार नहीं
a₁₀ = a + (n - 1)d = 3 + (10 - 1) × 2 = 3 + 18 = 21