← अध्ययन

बिंदु किस अनुपात में बाँटता है (The Ratio in Which a Point Divides a Segment)

🔊 पूरा पाठ शिक्षक की तरह सुनें (AI Voice)
पाठ देखते हुए सुनें। लाल पट्टी पर टैप करें या खींचकर आगे-पीछे जाएँ।
0:00--:--
आज क्या सीखेंगे

बिंदु किस अनुपात में बाँटता है — नियम समझकर हल और उसकी जाँच करना।

📖 उदाहरण से समझें (Learn with an Example)
एक रेखाखंड AB पर एक ठहराव P है। A से P तक और P से B तक की दूरियों का अनुपात जानना है।
सिर्फ़ निर्देशांक दिए हैं — अनुपात निकालना है।
🧠 समझिए (Understand)
मान लीजिए AP : PB = m : n।
विभाजन सूत्र से P का x-निर्देशांक = (m·x₂ + n·x₁)/(m + n) होता है।
यह समीकरण m और n के बीच का अनुपात देता है।
दिया विभाजन बिंदु और दोनों सिरे सूत्र में रखकर अनुपात खोज सकते हैं। अनुपात की दिशा AP:PB पहले तय करें।
सूत्र (Formula)
Pₓ = (m·x₂ + n·x₁)/(m + n) → m : n
✍️ कैसे करें (How to solve)
  1. AP : PB = m : n मानिए।
  2. x-निर्देशांक के लिए विभाजन सूत्र लिखिए।
  3. m और n के लिए हल कीजिए; y से जाँच कीजिए।
उदाहरण 1 (Example 1) — A(−3, 10), B(6, −8), P(−1, 6)
P(−1, 6) रेखाखंड AB को किस अनुपात AP : PB में बाँटता है?

तरीका (Method)

दिया विभाजन बिंदु और दोनों सिरे सूत्र में रखकर अनुपात खोज सकते हैं। अनुपात की दिशा AP:PB पहले तय करें।

प्रयुक्त नियम (Rule)

यदि P, AB को m:n में बाँटे, तो विभाजन सूत्र में P के निर्देशांक रखें और m:n निकालें। अक्ष पर बिंदु हो तो संबंधित निर्देशांक 0 रखें।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

−1 = (6m − 3n)/(m + n), इसलिए −m − n = 6m − 3n, यानी 7m = 2n

चरण (Step) 2

m : n = 2 : 7

जाँच (Check)

जाँच: y = (2·(−8) + 7·10)/9 = 54/9 = 6 ✓

उत्तर (Answer)

अनुपात 2 : 7

ध्यान रखें (Remember)

मिला अनुपात x और y दोनों निर्देशांकों में सही बिंदु दे।

उदाहरण 2 (Example 2) — A(0, 0), B(5, 10), P(2, 4)
P(2, 4) रेखाखंड AB को किस अनुपात AP : PB में बाँटता है?

तरीका (Method)

दिया विभाजन बिंदु और दोनों सिरे सूत्र में रखकर अनुपात खोज सकते हैं। अनुपात की दिशा AP:PB पहले तय करें।

प्रयुक्त नियम (Rule)

यदि P, AB को m:n में बाँटे, तो विभाजन सूत्र में P के निर्देशांक रखें और m:n निकालें। अक्ष पर बिंदु हो तो संबंधित निर्देशांक 0 रखें।

चरण (Step) 1 — नियम में मान रखें

2 = (5m + 0·n)/(m + n), इसलिए 2m + 2n = 5m, 3m = 2n

चरण (Step) 2

m : n = 2 : 3

उत्तर (Answer)

अनुपात 2 : 3

ध्यान रखें (Remember)

मिला अनुपात x और y दोनों निर्देशांकों में सही बिंदु दे।

⚠️ आम ग़लती (Common mistake)
A(−3, 10), B(6, −8), P(−1, 6) के लिए अनुपात 7 : 2 लिखना ❌
m, A के पास वाले हिस्से का नहीं, P से B तक (PB) के नीचे वाले हिस्से से जुड़ता है — अनुपात AP : PB पढ़िए
AP : PB = 2 : 7

खुद जाँचें — 3 छोटे सवाल

पहले विकल्प चुनें। फिर उत्तर और उसका कारण देखें। यह समझ की जाँच है।

सवाल 1

इस विषय के नियम को सही ढंग से समझाने वाला कथन चुनें।

सवाल 2

बिंदु P(-16, -13) रेखाखंड AB को किस अनुपात में विभाजित करता है, जहाँ A(-1, -3) और B(-19, -15) हैं? अनुपात AP : PB लिखिए।

सवाल 3

बिंदु P(-1, -10) रेखाखंड AB को किस अनुपात में विभाजित करता है, जहाँ A(-4, -7) और B(1, -12) हैं? अनुपात AP : PB लिखिए।
📝 सारांश (Summary)
💡 टिप (Tip)
अगले विषय पर जाने से पहले बिना समाधान देखे एक सवाल हल करें। गलती होने पर उसी चरण का कारण फिर पढ़ें।
अब खुद करके देखिए (Try it)कॉपी में लिखें — हल से मिलाएँइस विषय के बोर्ड प्रश्न — 1 सवाल, पूरे हल के साथ← पिछला विषय (Previous topic): त्रिभुज का केन्द्रकअगला विषय (Next topic): अनुपात ज्ञात करना →