अभ्यास — प्रश्नावली 13.4 (Exercise 13.4)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer — 2 अंक प्रत्येक)

1. पानी पीने वाला एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है। दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं। इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए।
   उत्तर देखें (See answer)

   दिया हुआ (Given)

   पानी पीने वाला एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है। दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं।

   ज्ञात करना है (Find)

   इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए।

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   छिन्नक की दोनों गोल सतहों की त्रिज्याएँ अलग हैं। सीधी ऊँचाई h और तिर्यक ऊँचाई l को अलग पहचानें।

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   छिन्नक का V=πh(R²+Rr+r²)/3 और TSA=π(R+r)l+πR²+πr²।

   चरण (Step) 1 — सूत्र लगाएँ

   r1=2, r2=1, h=14। आयतन = (π/3)×14×(4+1+2) = (22/21)×14×7।

   उत्तर (Answer)

   = 308/3 ≈ 102.67 cm³।

2. एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 cm है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 18 cm और 6 cm हैं। इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2025उत्तर देखें (See answer)
3. एक शंकु के छिन्नक (Frustum of a cone) की तिर्यक ऊँचाई (Slant height) 4 सेमी है तथा उसके वृत्तीय सिरों के परिमाप क्रमशः 15 सेमी और 6 सेमी हैं। छिन्नक (Frustum) के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल (Area) ज्ञात करें।बोर्ड परीक्षा में पूछा गया — 2026उत्तर देखें (See answer)

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer — 5 अंक प्रत्येक)

1. धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के एक छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 16 cm है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 20 cm हैं। ₹20 प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए। साथ ही, इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य ₹8 प्रति 100 cm² की दर से ज्ञात कीजिए। (π=3.14 लीजिए)
   उत्तर देखें (See answer)

   चित्र को समझें (Read the diagram)

   छिन्नक की दोनों गोल सतहों की त्रिज्याएँ अलग हैं। सीधी ऊँचाई h और तिर्यक ऊँचाई l को अलग पहचानें।

   प्रयुक्त सूत्र (Formula)

   छिन्नक का V=πh(R²+Rr+r²)/3 और TSA=π(R+r)l+πR²+πr²।

   चरण (Step) 1 — माप पहचानें

   बाल्टी एक छिन्नक (Frustum) है। बड़ी त्रिज्या R=20 cm, छोटी त्रिज्या r=8 cm, ऊँचाई h=16 cm। तिर्यक ऊँचाई l=√[h²+(R−r)²]=√(256+144)=20 cm। π=3.14 लें।

   चरण (Step) 2 — क्षमता और दूध की कीमत

   आयतन=(1/3)πh(R²+Rr+r²)=(1/3)×3.14×16×(400+160+64)=10449.92 cm³। 1000 cm³=1 L, इसलिए क्षमता=10.44992 L। ₹20 प्रति L से कीमत=10.44992×20=₹208.9984≈₹209।

   चरण (Step) 3 — धातु की चादर का क्षेत्रफल

   बाल्टी ऊपर से खुली है। इसलिए चादर का क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठ+नीचे का गोल आधार = π(R+r)l+πr² = 3.14×28×20+3.14×64 = 1758.40+200.96 = 1959.36 cm²।

   उत्तर (Answer)

   दूध ≈ 10.45 L, मूल्य ≈ ₹209; चादर ≈ 1959.36 cm², मूल्य ≈ ₹156.75